Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2018 год
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ: 0 для p=2, p−12 иначе.
Решение. 1) Пусть p=2, тогда все ученики запишут в своей тетради число, в этом случае ответ 0.
2) Пусть p>2. Если при k=m и k=n (m≠n соответствующие суммы дают одинаковый остаток, то
m(m+1)2≡n(n+1)2
(все сравнимости здесь и в дальнейшем \mod p).
Отсюда
m^2+m\equiv n^2+n;\quad m^2-n^2\equiv n-m;\quad (m-n)(m+n)\equiv n-m; \quad(m-n)(m+n+1)\equiv 0.
Так как m и n — различные остатки, то m\equiv-1-n\equiv p-m-n.
Получается, что остатки сумм совпадают по парам (0, p-1), (1, p-2), \ldots, причём \dfrac{p-1}{2} не имеет пары.
Следовательно, различных остатков будет \dfrac{p-1}{2}+1, а тех учеников, которым не досталось ни одного остатка p-\dfrac{p-1}{2}-1=\dfrac{p-1}{2}.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.