Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2018 год

Задача №1. На уроке математики присутствует простое число учеников

$p$ . Учитель определил каждому ученику номер

$0$ до

$p-1$ и задал им следующее упражнение: каждый ученик должен посчитать сумму чисел от нуля до

$k$ , для каждого

$k$ от

$0$ до

$p-1$ , а затем найти остаток от деления полученной суммы на

$p$ . Если остаток совпадает с номером ученика, то он должен записать число

$k$ в свою тетрадь. Определите, сколько учеников не запишут в свои тетради ни одного числа.
комментарий/решение(1)

Задача №2. В треугольнике

$ABC$ :

$BC\ge CA \ge AB$ . Из вершин

$B$ и

$C$ проведены биссектрисы

$BK$ и

$CL$ . Внутри треугольника

$AKL$ выбрана точка

$X$ , из которой опущены перпендикуляры

$XY$ и

$XZ$ на стороны

$AB$ и

$AC$ соответственно. Докажите, что

$XY+YZ+ZX < AC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. 16 учащихся записались на 20 различных кружков. В каждом кружке состоит по 4 ученика. Возможно ли, что при этом любые два ученика вместе ходят в точности на один кружок?
комментарий/решение(1)

Задача №4. Найдите все многочлены

$P(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющие соотношению

$Q(x^2)+x(3Q(x)+Q(-x))=(Q(x))^2+2x^2$ для всех действительных

$x$ .
комментарий/решение(1)