Loading [MathJax]/jax/output/SVG/fonts/TeX/fontdata.js

Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2018 год


Найдите все многочлены P(x) с действительными коэффициентами, удовлетворяющие соотношению Q(x2)+x(3Q(x)+Q(x))=(Q(x))2+2x2 для всех действительных x.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Q1(x)=x2k+1+x,Q2(x)=x2k+2x,Q3(x)=x, k=0,1,2,.
Решение. Пусть R(x) означает данное равенство. Рассмотрим R(x)R(x): (Q(x)Q(x))(Q(x)+Q(x))=4x(Q(x)+Q(x))xR.
    Следовательно, для всех xR или Q(x)=Q(x), или Q(x)=4xQ(x).
    Если первое равенство верно для достаточно большого числа x-ов (достаточно, чтобы количество x совпадало со степенью многочлена), тогда оно верно для всех для всех xR. Если же нет, то второе равенство верно для остальных x, которых бесконечно много, а, значит второе равенство верно для всех xR.
    Итак, либо ~Q(x)=Q(x)~ для всех xR, либо (не исключая первый случай) Q(x)=4xQ(x) для всех xR.
    Случай 1. Q(x)=Q(x) для всех xR. Q(x2)+2xQ(x)=(Q(x))2+2x2Q(x2)x2=(Q(x)x)2.
    Обозначим T(x)=Q(x)x, тогда T(x2)=(T(x))2 для всех xR.
    Случай 2. Q(x)=4xQ(x) для всех xR. Q(x2)+4xQ(x)4x2=(Q(x))2+2x2Q(x2)2x2=(Q(x)2x)2.
    Обозначим T(x)=Q(x)2x, тогда T(x2)=(T(x))2 для всех xR.
    Итак, в обоих случаях мы имеем T(x2)=(T(x))2 для всех xR. Пусть T(x)=anxn+amxm+ (степени многочлена записываются в убывающем порядке), тогда T(x2)=anx2n+amx2m+... и (T(x))2=a2nx2n+anamxm+n+
    Сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, получаем, что T(x)=anxn, причём an=1 или an=0. Итак, возможные решения: Q1(x)=xn+x,Q2(x)=xn+2x,Q3(x)=x,Q4(x)=2x.
    Проверкой убеждаемся, что первое является решением при нечётном n, второе -- при чётном n, третье и четвёртое является решениями.
    Окончательно, Q1(x)=x2k+1+x,Q2(x)=x2k+2x,Q3(x)=x, k=0,1,2,.