Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2018 год

Найдите все многочлены $P(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющие соотношению $Q(x^2)+x(3Q(x)+Q(-x))=(Q(x))^2+2x^2$ для всех действительных $x$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $Q_1(x)=x^{2k+1}+x, Q_2(x)=x^{2k}+2x, Q_3(x)=x$, $k=0, 1, 2, \ldots$.
Решение. Пусть $R(x)$ означает данное равенство. Рассмотрим $R(x)-R(-x)$: $$(Q(x)-Q(-x)) (Q(x)+Q(-x))=4x(Q(x)+Q(-x)) \quad\forall x\in\mathbb{R}.$$
    Следовательно, для всех $x\in\mathbb{R}$ или $Q(-x)=-Q(-x)$, или $Q(-x)=4x-Q(x)$.
    Если первое равенство верно для достаточно большого числа $x$-ов (достаточно, чтобы количество $x$ совпадало со степенью многочлена), тогда оно верно для всех для всех $x\in\mathbb{R}$. Если же нет, то второе равенство верно для остальных $x$, которых бесконечно много, а, значит второе равенство верно для всех $x\in\mathbb{R}$.
    Итак, либо ~$Q(-x)=-Q(-x)$~ для всех $x\in\mathbb{R}$, либо (не исключая первый случай) $Q(-x)=4x-Q(x)$ для всех $x\in\mathbb{R}$.
    Случай 1. $Q(-x)=-Q(-x)$ для всех $x\in\mathbb{R}$. $$Q(x^2)+2xQ(x)=(Q(x))^2+2x^2 \Rightarrow Q(x^2)-x^2=(Q(x)-x)^2.$$
    Обозначим $T(x)=Q(x)-x$, тогда $T(x^2)=(T(x))^2$ для всех $x\in\mathbb{R}$.
    Случай 2. $Q(-x)=4x-Q(x)$ для всех $x\in\mathbb{R}$. $$Q(x^2)+4xQ(x)-4x^2=(Q(x))^2+2x^2 \Rightarrow Q(x^2)-2x^2=(Q(x)-2x)^2.$$
    Обозначим $T(x)=Q(x)-2x$, тогда $T(x^2)=(T(x))^2$ для всех $x\in\mathbb{R}$.
    Итак, в обоих случаях мы имеем $T(x^2)=(T(x))^2$ для всех $x\in\mathbb{R}$. Пусть $T(x)=a_nx^n+a_mx^m+\ldots$ (степени многочлена записываются в убывающем порядке), тогда $$ T(x^2)=a_nx^{2n}+a_mx^{2m}+... \text{ и } (T(x))^2=a_n^2x^{2n}+a_na_mx^{m+n}+\ldots $$
    Сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, получаем, что $T(x)=a_nx^n$, причём $a_n=1$ или $a_n=0$. Итак, возможные решения: $$ Q_1(x)=x^n+x,\quad Q_2(x)=x^n+2x, \quad Q_3(x)=x, \quad Q_4(x)=2x. $$
    Проверкой убеждаемся, что первое является решением при нечётном $n$, второе -- при чётном $n$, третье и четвёртое является решениями.
    Окончательно, $Q_1(x)=x^{2k+1}+x, Q_2(x)=x^{2k}+2x, Q_3(x)=x$, $k=0, 1, 2, \ldots$.