Западно-Китайская математическая олимпиада, 2018 год

Есеп №1. Действительные числа

$x_{1} , x_{2} , \ldots , x_{2018}$ удовлетворяют условию

$x_{i} +x_{j} \ge \left(-1\right)^{i+j}$ для всех целых

$1\le i < j\le 2018$ . Определите наименьшее возможное значение

$\sum _{i=1}^{2018}ix_{i} .$
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Дано целое число

$n\ge 2$ и положительные действительные числа

$x_{1} , x_{2} , \ldots , x_{n}$ , для которых

$x_{1} x_{2} \ldots x_{n} =1$ . Докажите, что

$\left\{x_{1} \right\}+\left\{x_{2} \right\}+\ldots +\left\{x_{n} \right\} < \frac{2n-1}{2} ,$ где

$\left\{x\right\}$ обозначает дробную часть действительного числа

$x$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Пусть

$M=\left\{1, 2, \ldots , 10\right\}$ , и множество

$T$ состоит из некоторых двухэлементных подмножеств

$M$ . Для любых двух различных элементов

$\left\{a, b\right\}, \left\{x, y\right\}$ множества

$T$ известно, что

$\left(ax+by\right)\left(ay+bx\right)$ не делится на 11. Определите наибольшее возможное число элементов в

$T$ .
комментарий/решение

Есеп №4. Дан остроугольный треугольник

$ABC$ , причем

$AB > AC$ . На сторонах

$AC$ и

$AB$ выбраны точки

$E$ и

$F$ соответственно так, что

$BF+CE=BC$ . Точки

$I_{B} , I_{C}$ — центры вневписанных окружностей, противолежащих вершинам

$B$ и

$C$ соответственно. Прямые

$EI_{C} , FI_{B}$ пересекаются в точке

$T$ . Точка

$K$ — середина дуги

$BAC$ описанной окружности треугольника

$ABC$ . Прямая

$KT$ и описанная окружность треугольника

$ABC$ пересекаются в точках

$K$ и

$P$ . Докажите, что точки

$T, F, P, E$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение

Есеп №5. Дан остроугольный треугольник

$ABC$ , причем

$AB < AC$ .

$O$ — центр его описанной окружности, как показано на рисунке. Точка

$M$ — середина

$BC$ . Окружность, проходящая через точки

$A$ ,

$O$ и

$M$ , пересекает продолжение отрезка

$AB$ и отрезок

$AC$ в точках

$D$ и

$E$ соответственно. Докажите, что

$DM=EC$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Даны натуральное число

$n\ge 2$ и последовательность положительных действительных чисел

$a_{1} \ge a_{2} \ge \ldots \ge a_{n}$ . Докажите, что

$\left(\sum _{i=1}^{n}\frac{a_{i} }{a_{i+1} } \right)-n\le \frac{1}{2a_{1} a_{n} } \sum _{i=1}^{n}\left(a_{i} -a_{i+1} \right)^{2} ,$ где

$a_{n+1} =a_{1}$ .
комментарий/решение

Есеп №7. Даны простое целое число

$p$ и составное целое число

$c$ . Докажите, что найдутся положительные целые числа

$m$ и

$n$ , удовлетворяющие условию

$0 < m-n < \frac{lcm\left(n+1, n+2, \ldots , m\right)}{lcm\left(n, n+1, \ldots , m-1\right)} =p^{c} .$
комментарий/решение

Есеп №8. Даны положительные целые числа

$n$ и

$k$ , причем

$n$ четное,

$k\ge 2$ и

$n > 4k$ . На окружности заданы

$n$ точек. Назовем набор из

$\frac{n}{2}$ хорд окружности < i > подходящим}, если их концы совпадают с данными

$n$ точками, при этом никакие две хорды набора не пересекаются внутри окружности. Определите наибольшее возможное целое число

$m$ , что для любого \textit{подходящего} набора хорд найдутся

$k$ последовательных точек на окружности из

$n$ заданных и

$m$ хорд из данного \textit{подходящего < /i > набора, все концы которых принадлежат к этим

$k$ точкам.
комментарий/решение

результаты