Западно-Китайская математическая олимпиада, 2018 год

Есеп №1.  Действительные числа $x_{1} , x_{2} , \ldots , x_{2018} $ удовлетворяют условию $x_{i} +x_{j} \ge \left(-1\right)^{i+j} $ для всех целых $1\le i < j\le 2018$. Определите наименьшее возможное значение $\sum _{i=1}^{2018}ix_{i} .$
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2.  Дано целое число $n\ge 2$ и положительные действительные числа $x_{1} , x_{2} , \ldots , x_{n} $, для которых $x_{1} x_{2} \ldots x_{n} =1$. Докажите, что \[\left\{x_{1} \right\}+\left\{x_{2} \right\}+\ldots +\left\{x_{n} \right\} < \frac{2n-1}{2} ,\] где $\left\{x\right\}$ обозначает дробную часть действительного числа $x$.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3.  Пусть $M=\left\{1, 2, \ldots , 10\right\}$, и множество $T$ состоит из некоторых двухэлементных подмножеств $M$. Для любых двух различных элементов $\left\{a, b\right\}, \left\{x, y\right\}$ множества $T$ известно, что $\left(ax+by\right)\left(ay+bx\right)$ не делится на 11. Определите наибольшее возможное число элементов в $T$.
комментарий/решение

---

Есеп №4.  Дан остроугольный треугольник $ABC$, причем $AB > AC$. На сторонах $AC$ и $AB$ выбраны точки $E$ и $F$ соответственно так, что $BF+CE=BC$. Точки $I_{B} , I_{C} $ — центры вневписанных окружностей, противолежащих вершинам $B$ и $C$ соответственно. Прямые $EI_{C} , FI_{B} $ пересекаются в точке $T$. Точка $K$ — середина дуги $BAC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Прямая $KT$ и описанная окружность треугольника $ABC$ пересекаются в точках $K$ и $P$. Докажите, что точки $T, F, P, E$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение

---

Есеп №5.  Дан остроугольный треугольник $ABC$, причем $AB < AC$. $O$ — центр его описанной окружности, как показано на рисунке. Точка $M$ — середина $BC$. Окружность, проходящая через точки $A$, $O$ и $M$, пересекает продолжение отрезка $AB$ и отрезок $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Докажите, что $DM=EC$.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6.  Даны натуральное число $n\ge 2$ и последовательность положительных действительных чисел $a_{1} \ge a_{2} \ge \ldots \ge a_{n} $. Докажите, что \[\left(\sum _{i=1}^{n}\frac{a_{i} }{a_{i+1} } \right)-n\le \frac{1}{2a_{1} a_{n} } \sum _{i=1}^{n}\left(a_{i} -a_{i+1} \right)^{2} ,\] где $a_{n+1} =a_{1} $.
комментарий/решение

---

Есеп №7.  Даны простое целое число $p$ и составное целое число $c$. Докажите, что найдутся положительные целые числа $m$ и $n$, удовлетворяющие условию \[0 < m-n < \frac{lcm\left(n+1, n+2, \ldots , m\right)}{lcm\left(n, n+1, \ldots , m-1\right)} =p^{c} .\]
комментарий/решение

---

Есеп №8.  Даны положительные целые числа $n$ и $k$, причем $n$ четное, $k\ge 2$ и $n > 4k$. На окружности заданы $n$ точек. Назовем набор из $\frac{n}{2} $ хорд окружности < i > подходящим}, если их концы совпадают с данными $n$ точками, при этом никакие две хорды набора не пересекаются внутри окружности. Определите наибольшее возможное целое число $m$, что для любого \textit{подходящего} набора хорд найдутся $k$ последовательных точек на окружности из $n$ заданных и $m$ хорд из данного \textit{подходящего < /i > набора, все концы которых принадлежат к этим $k$ точкам.
комментарий/решение

---