Западно-Китайская математическая олимпиада, 2018 год

Даны простое целое число $p$ и составное целое число $c$. Докажите, что найдутся положительные целые числа $m$ и $n$, удовлетворяющие условию $$0 < m-n < \frac{lcm\left(n+1, n+2, \ldots , m\right)}{lcm\left(n, n+1, \ldots , m-1\right)} =p^{c} .$$