Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Оқушы екі оң бүтін

$m$ және

$n$ сандарын таңдап алды. Егер ұзындықтары

${{\log }_{3}}m,\text{ }{{\log }_{3}}n$ және

${{\log }_{3}}k$ болатын кесінділерден үшбұрыш құрауға болатын болса, онда ол оң бүтін

$k$ санын жақсы дейді. Ол барлығы дәл 100 жақсы сан бар екенін анықтаса,

$mn$ санының максимал мүмкін мәнін табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Төбесі

$S$ болатын пирамданың

$ABCDE$ табаны бір шеңберге іштей сызылған және

$AB < DE$ . Егер

$SA$ қыры

$S$ төбесінен шығатын қырлардың ең ұзыны болса, онда

$SB > SC$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Олимпиадаға 45 оқушы қатысты. Егер екі оқушының олимпиадаға қатысушылар ішіндегі таныстар саны бірдей болса, онда ол екеуінің бірін-бірі танымайтыны анықталды. Олимпиадаға қатысушы оқушылардың ішіндегі таныс парлардың ең көп мүмкін саны қаншаға тең?
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Барлық

$x,y\in {{\mathbb{R}}^{+}}$ үшін

$f(x+y)+f(x)f(y)=f(x)+f(y)+f(xy)$ теңдігін қанағаттандыратын барлық

$f:{{\mathbb{R}}^{+}}\to {{\mathbb{R}}^{+}}$ функциясын табыңдар, мұнда

${{\mathbb{R}}^{+}}$ оң нақты сандар жиынын белгілейді.
комментарий/решение(4)

Есеп №5. Қосындысы 1-ге тең кез келген оң нақты

$x,y$ және

$z$ сандары үшін теңсіздікті дәлелде:

$\sqrt{xy+z}+\sqrt{yz+x}+\sqrt{zx+y}\le \dfrac{xy+z}{x+y}+\dfrac{yz+x}{y+z}+\dfrac{zx+y}{z+x}.$
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Жәмилә оң бүтін

$n$ санын таңдап оны Махамбетке хабарлайды. Өз кезегінде Махамбет оң бүтін

$k$ санын таңдап оны Жәмиләға хабарлайды. Жәмилә қағазға әртүрлі

$n$ шеңбер сызып, әрқайсысы осы шеңберлердің ең болмағанда біреуінде жататындай әртүрлі

$k$ нүкте таңдайды. Сонан соң ол осы

$k$ нүктені ғана қалдырып, шеңберлердің бәрін өшіріп тастайды. Қалған нүктелер бойынша шеңберлердің ең болмағанда біреуін дәл анықтау үшін Махамбет таңдаған

$k$ саны ең кемінде қаншаға тең болу керек?
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Бірлік шеңберге іштей сызылған дұрыс 2004-бұрыш берілген. Төбелері осы көпбұрыштың төбелерімен сәйкес, ал қабырғалары мен диагоналдарының ұзындығы 2-ден өзгеше барлық төртбұрыштардың

$Q$ жиынын қарастырайық. Енді

$R$ арқылы

$Q$ -дың шеңбердің центрі ішінде жататын төртбұрыштардан тұратын ішкі жиынын белгілейік. Олай болса,

$R$ -дің элементтерінің саны

$Q$ -дың элементтерінің санының дәл жартысына тең болатынын дәлелде.
комментарий/решение

Есеп №8. Қандай

$p$ жай саны үшін

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2003+pz$ теңдеуінің бүтін

$x,y$ және

$z$ шешімі табылады?
комментарий/решение(1)