Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Оқушы екі оң бүтін $m$ және $n$ сандарын таңдап алды. Егер ұзындықтары ${{\log }_{3}}m,\text{ }{{\log }_{3}}n$ және ${{\log }_{3}}k$ болатын кесінділерден үшбұрыш құрауға болатын болса, онда ол оң бүтін $k$ санын жақсы дейді. Ол барлығы дәл 100 жақсы сан бар екенін анықтаса, $mn$ санының максимал мүмкін мәнін табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Төбесі $S$ болатын пирамданың $ABCDE$ табаны бір шеңберге іштей сызылған және $AB < DE$. Егер $SA$ қыры $S$ төбесінен шығатын қырлардың ең ұзыны болса, онда $SB > SC$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Олимпиадаға 45 оқушы қатысты. Егер екі оқушының олимпиадаға қатысушылар ішіндегі таныстар саны бірдей болса, онда ол екеуінің бірін-бірі танымайтыны анықталды. Олимпиадаға қатысушы оқушылардың ішіндегі таныс парлардың ең көп мүмкін саны қаншаға тең?
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Барлық $x,y\in {{\mathbb{R}}^{+}}$ үшін $f(x+y)+f(x)f(y)=f(x)+f(y)+f(xy)$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $f:{{\mathbb{R}}^{+}}\to {{\mathbb{R}}^{+}}$ функциясын табыңдар, мұнда ${{\mathbb{R}}^{+}}$ оң нақты сандар жиынын белгілейді.
комментарий/решение(4)

Есеп №5. Қосындысы 1-ге тең кез келген оң нақты $x,y$ және $z$ сандары үшін теңсіздікті дәлелде: $$\sqrt{xy+z}+\sqrt{yz+x}+\sqrt{zx+y}\le \dfrac{xy+z}{x+y}+\dfrac{yz+x}{y+z}+\dfrac{zx+y}{z+x}.$$
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Жәмилә оң бүтін $n$ санын таңдап оны Махамбетке хабарлайды. Өз кезегінде Махамбет оң бүтін $k$ санын таңдап оны Жәмиләға хабарлайды. Жәмилә қағазға әртүрлі $n$ шеңбер сызып, әрқайсысы осы шеңберлердің ең болмағанда біреуінде жататындай әртүрлі $k$ нүкте таңдайды. Сонан соң ол осы $k$ нүктені ғана қалдырып, шеңберлердің бәрін өшіріп тастайды. Қалған нүктелер бойынша шеңберлердің ең болмағанда біреуін дәл анықтау үшін Махамбет таңдаған $k$ саны ең кемінде қаншаға тең болу керек?
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Бірлік шеңберге іштей сызылған дұрыс 2004-бұрыш берілген. Төбелері осы көпбұрыштың төбелерімен сәйкес, ал қабырғалары мен диагоналдарының ұзындығы 2-ден өзгеше барлық төртбұрыштардың $Q$ жиынын қарастырайық. Енді $R$ арқылы $Q$-дың шеңбердің центрі ішінде жататын төртбұрыштардан тұратын ішкі жиынын белгілейік. Олай болса, $R$-дің элементтерінің саны $Q$-дың элементтерінің санының дәл жартысына тең болатынын дәлелде.
комментарий/решение

Есеп №8. Қандай $p$ жай саны үшін ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2003+pz$ теңдеуінің бүтін $x,y$ және $z$ шешімі табылады?
комментарий/решение(1)