Областная олимпиада по математике, 2004 год, 11 класс
Сумма положительных действительных чисел x, y и z равна 1. Докажите неравенство: √xy+z+√yz+x+√zx+y≤xy+zx+y+yz+xy+z+zx+yz+x.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
xy+z=xy+z⋅1=xy+z(x+y+z)=xy+zx+zy+z2=x(y+z)+z(y+z)=(y+z)(x+z)
yz+x=yz+x⋅1=yz+x(z+y+x)=yz+xz+xy+x2=z(y+x)+x(y+x)=(y+x)(z+x)
zx+y=zx+y⋅1=zx+y(x+z+y)=zx+yx+yz+y2=x(z+y)+y(z+y)=(z+y)(x+y)
√(y+z)(x+z)+√(y+x)(z+x)+√(z+y)(x+y)≤(y+z)(x+z)x+y+(y+x)(x+z)z+y+(y+z)(x+y)x+z
2√(y+z)(x+z)+2√(y+x)(z+x)+2√(z+y)(x+y)≤2(y+z)(x+z)x+y+2(y+x)(x+z)z+y+2(y+z)(x+y)x+z
(√(y+z)(x+z)x+y−√(y+z)(x+y)x+z)2+(√(y+z)(x+y)x+z−√(x+z)(x+y)y+z)2+
+(√(y+x)(x+z)z+y−√(y+z)(x+z)x+y)2≥0
√(y+z)(x+z)x+y=α,√(y+z)(x+y)x+z=β,√(y+x)(x+z)z+y=γ⇒
⇒(α−β)2+(β−γ)2+(γ−α)2≥0
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.