Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2004 год, 11 класс


Сумма положительных действительных чисел x, y и z равна 1. Докажите неравенство: xy+z+yz+x+zx+yxy+zx+y+yz+xy+z+zx+yz+x.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 10 месяца назад #

xy+z=xy+z1=xy+z(x+y+z)=xy+zx+zy+z2=x(y+z)+z(y+z)=(y+z)(x+z)

yz+x=yz+x1=yz+x(z+y+x)=yz+xz+xy+x2=z(y+x)+x(y+x)=(y+x)(z+x)

zx+y=zx+y1=zx+y(x+z+y)=zx+yx+yz+y2=x(z+y)+y(z+y)=(z+y)(x+y)

(y+z)(x+z)+(y+x)(z+x)+(z+y)(x+y)(y+z)(x+z)x+y+(y+x)(x+z)z+y+(y+z)(x+y)x+z

2(y+z)(x+z)+2(y+x)(z+x)+2(z+y)(x+y)2(y+z)(x+z)x+y+2(y+x)(x+z)z+y+2(y+z)(x+y)x+z

((y+z)(x+z)x+y(y+z)(x+y)x+z)2+((y+z)(x+y)x+z(x+z)(x+y)y+z)2+

+((y+x)(x+z)z+y(y+z)(x+z)x+y)20

(y+z)(x+z)x+y=α,(y+z)(x+y)x+z=β,(y+x)(x+z)z+y=γ

(αβ)2+(βγ)2+(γα)20