Областная олимпиада по математике, 2004 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Школьник выбрал два целых положительных числа

$m$ и

$n$ . Он называет целое положительное число

$k$

$\it{хорошим}$ , если из отрезков длинами

$\log _3m$ ,

$\log _3n$ и

$\log _3k$ можно построить треугольник. Он нашел все хорошие числа, их оказалось ровно 100. Найдите максимально возможное значение

$m$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Основание

$ABCDE$ пирамиды с вершиной

$S$ вписано в окружность и

$AB < DE$ . Если

$SA$ – самое длинное ребро, выходящее из вершины

$S$ , то докажите, что

$SB>SC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. В олимпиаде участвуют 45 школьников. Выяснилось, что любые двое из них, имеющие одинаковое количество знакомых среди участников олимпиады, не знакомы друг с другом. Каково наибольшее возможное число знакомых пар школьников среди участников олимпиады?
комментарий/решение(1)

Задача №4. Найдите все функции

$f:\mathbb{R}^ +\to \mathbb{R}^ +$ такие, что

$f(x + y) + f(x)f(y) = f(x) + f(y) + f(xy),$ где

$\mathbb{R}^+$ обозначает множество неотрицательных действительных чисел.
комментарий/решение(4)

Задача №5. Сумма положительных действительных чисел

$x$ ,

$y$ и

$z$ равна 1. Докажите неравенство:

$\sqrt {xy + z} + \sqrt {yz + x} + \sqrt {zx + y} \leq \frac{{xy + z}} {{x + y}} + \frac{{yz + x}} {{y + z}} + \frac{{zx + y}} {{z + x}}.$
комментарий/решение(1)

Задача №6. Джамиля выбирает положительное целое число

$n$ и сообщает его Махамбету. Махамбет в свою очередь выбирает число

$k$ и сообщает его Джамиле. Джамиля на бумаге чертит

$n$ различных окружностей и выбирает

$k$ различных точек, каждая из которых принадлежит, по крайней мере, одной из окружностей. Потом она стирает все окружности, оставляя на бумаге лишь выбранные

$k$ точек. Какое наименьшее число должен выбрать Махамбет, чтобы по оставшимся точкам наверняка восстановить одну из окружностей?
комментарий/решение(1)

Задача №7. Пусть правильный 2004-угольник вписан в окружность единичного радиуса. Рассмотрим множество

$Q$ четырехугольников, все вершины которых совпадают с некоторыми вершинами этого многоугольника, а длины сторон и диагоналей не равны 2. Пусть

$R$ – подмножество

$Q$ , состоящее из четырехугольников, содержащих центр окружности внутри себя. Докажите, что число элементов

$R$ составляет ровно половину числа элементов

$Q$ .
комментарий/решение

Задача №8. Для каких простых чисел

$p$ уравнение

$x^2+y^2=2003+pz$ имеет решение в целых числах

$x$ ,

$y$ и

$z$ ?
комментарий/решение(1)