Областная олимпиада по математике, 2004 год, 11 класс

Для каких простых чисел $p$ уравнение $x^2+y^2=2003+pz$ имеет решение в целых числах $x$, $y$ и $z$?

Комментарий/решение

Ответ: для любых простых $p$

1) Если $p=2$ то например $(x,y,z)=(0,1,-1001)$.

2) Если $p=2003$ то подойдет $(x,y,z)=(0,0,-1)$.

3) В других случаях имеем $(4p,2p+2003)=1$ значит существует простое число вида $q=(4p)k+(2p+2003)=p(4k+2)+2003$ и тем более $q\equiv 1\pmod 4$ значит $q=a^2+b^2$ следовательно тройка $(x,y,z)=(a,b,4k+2)$ подходит.