Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 11 сынып


Қандай p жай саны үшін x2+y2=2003+pz теңдеуінің бүтін x,y және z шешімі табылады?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3 | Модератормен тексерілді
8 года 8 месяца назад #

Ответ: для любых простых p

1) Если p=2 то например (x,y,z)=(0,1,1001).

2) Если p=2003 то подойдет (x,y,z)=(0,0,1).

3) В других случаях имеем (4p,2p+2003)=1 значит существует простое число вида q=(4p)k+(2p+2003)=p(4k+2)+2003 и тем более q1(mod4) значит q=a2+b2 следовательно тройка (x,y,z)=(a,b,4k+2) подходит.