Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 11 сынып
Қандай p жай саны үшін x2+y2=2003+pz теңдеуінің бүтін x,y және z шешімі табылады?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ: для любых простых p
1) Если p=2 то например (x,y,z)=(0,1,−1001).
2) Если p=2003 то подойдет (x,y,z)=(0,0,−1).
3) В других случаях имеем (4p,2p+2003)=1 значит существует простое число вида q=(4p)k+(2p+2003)=p(4k+2)+2003 и тем более q≡1(mod4) значит q=a2+b2 следовательно тройка (x,y,z)=(a,b,4k+2) подходит.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.