қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по физике 2014, 11 класс, теоретический тур
Есеп №1. Бейсызық жіп (10.0 ұпай)
Жіп бастапқы $l_0$ ұзындығынан анағұрлым көп болатын, $l$ ұзындығына дейін созыла алатын резеңкеден жасалған. Осы тәрізді резеңкенің толық көлемі сақталады.
А) Деформацияланған күйіндегі резеңкенің $S$ көлденең қимасының ауданын оның $l$ ұзындығы мен оның бастапқы $l_0$, $S_0$ өлшемдері арқылы өрнектеңіз;
Б) Резеңкені аз деформациялаған кездегі керілу күші $F$ және оның ұзаруы $x$ Гук заңымен $F=k_0x$ байланысқан, мұндағы $k_0=E_0S_0/l_0$ бастапқы қатаңдыққа тең, ал $E_0$ — Юнг модулі деп аталады. Резеңкені көп деформацияланғанда $l\gg l_0$. Гук заңы орындалмайды, оның орнына $F(l)=a+\frac{b}{l}$ заңы орындалады. $a$ және $b$ тұрақтыларын $l_0,S_0$ және $E_0$ арқылы өрнектеңіз;
В) Қандай-да бір күш арқылы резеңке $l$ ұзындыққа дейін соғылған деп есептейік. Керілу күшінің $\Delta F$ аз ғана өзгерісі оның ұзындығының $\Delta l\ll l$ аз ғана өзгеруіне әкеледі. $\Delta F$-ті $l,l_0,E_0$ және $\Delta l$ арқылы өрнектеңіз;
Г) Резеңкенің бір ұшына бір кішкентай дене бекітілген деп есептейік және де жалпы қарастырып отырған жүйеміз екінші ұшына қатысты айналысқа келтірілген делік. Дененің қозғалысы айналмалы деп ескеріп, резеңкенің $l$ ұзындығын $l_0$, $S_0$, $E_0$ және дененің $K$ кинетикалық энергиясы арқылы өрнектеңіз;
Д) Алдыңғы пункта қарастырған дененің айналмалы қозғалысының кішкентай ауытқуын сараптайық. Жүйе қозғалысын оның ұзындығының $r(t)=l(t)-l(0)$ өзгерісімен, дененің $\vartheta_{r}(t)$ радиальды және $\vartheta_{t}(t)$ тангенциальды жылдамдықтарының (бұл жылдамдықтың компоненталары сәйкесінше параллель және перпендикуляр резинкалар) өзгерістерімен сипаттайтын боламыз. Алғашқы шамаларды $L=l(0)$, $V_{r}=\vartheta_{r}(0)$ және $V_{t}=\vartheta_{t}(0)$ деп белгілеп аламыз. Өзара $r(t)$, $\vartheta_{r}(t)$ және $\vartheta_{t}(t)$-ларды бір бірімен байланыстыратын екі теңдеу жазыңыз. Теңдеулерде келесі шамаларды пайдаланыңыз: дененің массасы $m$, және де $L$, $V_{r}$, $V_{t}$, $l_0$, $S_0$, $E_0$.
Е) $r\ll l$ деп есептеп, $m,L,V_r,V_t,l_0,S_0,E_0$ шамалары арқылы өрнектелетіндей етіп $r(t)$ және $\vartheta_r(t)$ арасындағы қатынасты табыңыз. Аздаған осцилляция $r(t)$ кезіндегі периодты $T$ табыңыз. $L\gg l_0$ кезіндегі $T$ үшін өрнекті ықшамдаңыз. Ескерту. Сізге келесі формулалар керек болуы мүмкін:
$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2$, егер $x\ll1$ болса,
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}$, егер $x\ll1$ болса,
$\int \frac{dx}{x}=\ln x+C$, мұндағы $C$ — қандай-да бір тұрақты.
комментарий/решение
Жіп бастапқы $l_0$ ұзындығынан анағұрлым көп болатын, $l$ ұзындығына дейін созыла алатын резеңкеден жасалған. Осы тәрізді резеңкенің толық көлемі сақталады.
А) Деформацияланған күйіндегі резеңкенің $S$ көлденең қимасының ауданын оның $l$ ұзындығы мен оның бастапқы $l_0$, $S_0$ өлшемдері арқылы өрнектеңіз;
Б) Резеңкені аз деформациялаған кездегі керілу күші $F$ және оның ұзаруы $x$ Гук заңымен $F=k_0x$ байланысқан, мұндағы $k_0=E_0S_0/l_0$ бастапқы қатаңдыққа тең, ал $E_0$ — Юнг модулі деп аталады. Резеңкені көп деформацияланғанда $l\gg l_0$. Гук заңы орындалмайды, оның орнына $F(l)=a+\frac{b}{l}$ заңы орындалады. $a$ және $b$ тұрақтыларын $l_0,S_0$ және $E_0$ арқылы өрнектеңіз;
В) Қандай-да бір күш арқылы резеңке $l$ ұзындыққа дейін соғылған деп есептейік. Керілу күшінің $\Delta F$ аз ғана өзгерісі оның ұзындығының $\Delta l\ll l$ аз ғана өзгеруіне әкеледі. $\Delta F$-ті $l,l_0,E_0$ және $\Delta l$ арқылы өрнектеңіз;
Г) Резеңкенің бір ұшына бір кішкентай дене бекітілген деп есептейік және де жалпы қарастырып отырған жүйеміз екінші ұшына қатысты айналысқа келтірілген делік. Дененің қозғалысы айналмалы деп ескеріп, резеңкенің $l$ ұзындығын $l_0$, $S_0$, $E_0$ және дененің $K$ кинетикалық энергиясы арқылы өрнектеңіз;
Д) Алдыңғы пункта қарастырған дененің айналмалы қозғалысының кішкентай ауытқуын сараптайық. Жүйе қозғалысын оның ұзындығының $r(t)=l(t)-l(0)$ өзгерісімен, дененің $\vartheta_{r}(t)$ радиальды және $\vartheta_{t}(t)$ тангенциальды жылдамдықтарының (бұл жылдамдықтың компоненталары сәйкесінше параллель және перпендикуляр резинкалар) өзгерістерімен сипаттайтын боламыз. Алғашқы шамаларды $L=l(0)$, $V_{r}=\vartheta_{r}(0)$ және $V_{t}=\vartheta_{t}(0)$ деп белгілеп аламыз. Өзара $r(t)$, $\vartheta_{r}(t)$ және $\vartheta_{t}(t)$-ларды бір бірімен байланыстыратын екі теңдеу жазыңыз. Теңдеулерде келесі шамаларды пайдаланыңыз: дененің массасы $m$, және де $L$, $V_{r}$, $V_{t}$, $l_0$, $S_0$, $E_0$.
Е) $r\ll l$ деп есептеп, $m,L,V_r,V_t,l_0,S_0,E_0$ шамалары арқылы өрнектелетіндей етіп $r(t)$ және $\vartheta_r(t)$ арасындағы қатынасты табыңыз. Аздаған осцилляция $r(t)$ кезіндегі периодты $T$ табыңыз. $L\gg l_0$ кезіндегі $T$ үшін өрнекті ықшамдаңыз. Ескерту. Сізге келесі формулалар керек болуы мүмкін:
$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2$, егер $x\ll1$ болса,
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}$, егер $x\ll1$ болса,
$\int \frac{dx}{x}=\ln x+C$, мұндағы $C$ — қандай-да бір тұрақты.
комментарий/решение
Есеп №2. Бейсызық резистор (10.0 ұпай)
Электрлік бейсызық резистордың кедергісін өлшеудегі тәжірибелер келесіні көрсетті. Резистордың температурасын бөлме температурасы $T_0=20^{\circ}$ С-дан $T_1=100^{\circ}$ С температураға дейін көтергенде, оның кедергісі кенеттен ыршып $R_1=50$-ден $R_2=100$ Ом-ға дейін өзгереді. Кедергінің кері секірісі төмендеу $T_2=99^{\circ}$ С-ға тең температурада байқалады. Резисторға кернеуі $U_1=60$ В қорек көзін қосады, біраз уақыт өткен соң оның температурасы $T_3=80^{\circ}$ С тең болып орнайды. Осыдан кейін $t=0$ бастапқы уақыт мезетінде температурасы $T_0$ резисторға, кернеуі $U_1=80$ В қорек көзін қосады және де сол кезде тізбекте тоқтың электрлік тербелістері пайда болады. Резистордың жылусыйымдылығы $C=3$ Дж/К тең, ал бөлменің температурасы тұрақты боп қалады. Ньютон-Рихман заңына сәйкес резистордың шығаратын жылу, резистор мен қоршаған ауа температураларының айырымына келесі түрде тура пропорционал екендігін ескеріңіздер $$P_\text{ext}=\alpha(T_S-T_0),$$
мұндағы $P_\text{ext}$ — беттік жылу температурасы $T_S$ болатын өткізгіштің беттік энергия жоғалту қуаты, $T_0$ — бөлме ауасының температурасы, $\alpha$ — жылу шығарғыштық коэффициенті деп аталынатын белгілі бір тұрақты.
А) Жылу шығарғыштық коэффициенті $\alpha$ табыңыз және есептеңіз;
Б) $t=0$ уақыт мезетінен бастап резисторды қыздырған кезде, оның температурасы келесі заңдылықпен өзгереді $$T(t)=A_1+A_2e^{-bt}.$$ $A_1,A_2$ және $b$ табыңыз;
В) Резистор кедергісінің бірінші ыршып, секірмелі өзгерісі орын алатын, $t_1$ уақыт мезетін анықтаңыз;
Г) Температураның орныққан тербелістерінің $\tau_0$ периоды неге тең?
Д) Резисторда, тербелістің бір периодында қандай мөлшерде $Q$ джоульдік жылу бөлінеді?
комментарий/решение
А) Жылу шығарғыштық коэффициенті $\alpha$ табыңыз және есептеңіз;
Б) $t=0$ уақыт мезетінен бастап резисторды қыздырған кезде, оның температурасы келесі заңдылықпен өзгереді $$T(t)=A_1+A_2e^{-bt}.$$ $A_1,A_2$ және $b$ табыңыз;
В) Резистор кедергісінің бірінші ыршып, секірмелі өзгерісі орын алатын, $t_1$ уақыт мезетін анықтаңыз;
Г) Температураның орныққан тербелістерінің $\tau_0$ периоды неге тең?
Д) Резисторда, тербелістің бір периодында қандай мөлшерде $Q$ джоульдік жылу бөлінеді?
комментарий/решение
Есеп №3. Атомның кванттық моделі (10.0 ұпай)
Кванттық механика тұрғысынан сутегі атомының құрылысын қарастырайық. Ортасында заряды оң протон түріндегі, тыныштықта тұрған атомдық ядросы орналасқан. Ядроны айнала электрон қозғалады, бірақ оның траекториясы кванттық механика тұрғысынан белгісіз, өйткені Гейзенбергтің анықталмағандық принципі орын алады. Осы жағдайда, химия курсынан бізге электронды зарядталған бұлт ретінде санауға болатыны белгілі. Сутегі атомының негізгі күйінде электрон бұлты зарядының көлемдік тығыздығы келесі өрнекпен анықталатын болсын $$\rho_0=Ae^{-2r/a_0},$$
мұндағы $r$ — нүктелік деп есептеуге болатын протоннан қашықтық, ал $a_0=4\pi \varepsilon_0 h^2/m_ee^2$ — бор радиусы, $m_e=9.11\times 10^{-31}$ кг — электрон массасы, $e=1,602\times 10^{-19}$ Кл — элементар заряд, $h=1,05\times 10^{-34}$ Дж $\cdot$ — Планк тұрақтысы, $\varepsilon_0=8,85\times 10^{-12}$ Ф/м — диэлектрлік тұрақты.
А) $A$ табыңыз және оны жоғарыда көрсетілгендей берілген шамалар арқылы өрнектеңіз;
Б) Ядродан $r$ қашықтықтағы электр өрісінің кернеулігін $E(r)$ табыңыз. Олардың тәуелділік графигін тұрғызыңыз;
В) Ядродан $r$ қашықтықтағы электр өрісінің потенциалы $\varphi(r)$ мынадай түрде ие $$\varphi(r)=\left(A_1+\frac{A_2}{r}\right)e^{-br}.$$ $A_1,A_2$ және $b$ табыңыз;
Г) Электронды бұлтпен протонның өзара әсерлесу энергиясын $W_e$ табыңыз;
Д) Электронды бұлттың меншікті энергиясы $W_{i}$ табыңыз; Сутегі атомы фотонды жұтып алды, соның нәтижесінде электронды бұлттың тығыздығы келесі өрнекпен сипатталатын болды $$\rho=B\left(1-\frac{r}{2a_0}^2e^{-r/a_0}\right),$$
Е) $B$ табыңыз және оны жоғарыда көрсетілгендей берілген шамалар арқылы өрнектеңіз;
Ж) Жұтылған фотонның $\omega$ айналу жиілігін табыңыз және оның сандық мәнін есептеңіз;
З) Негізінде, жоғарыда көрсетілген ауысу мүмкін емес, өйткені орбиталық моменті нөлге тең екі электрондардың күйлері арасында болып тұр. Істің неге осылай боп қалуын ұйғара аласыз ба? Ескерту. Келесі интеграл мәндерін пайдаланыңыз:
$\int e^{-bx}\,dx=-\frac{1}{b}e^{-bx}+C$, мұндағы $C$ — кез-келген тұрақты,
$\int x^ne^{-bx}\,dx=-\frac{x^n}{b}e^{-bx}+\frac{n}{b}\int x^{n-1}e^{-bx}\,dx$, мұндағы $n$ — натурал сан,
$\int_0^\infty\frac{(1-e^{-bx})^2}{x^2}=b\ln4$,
$\int_0^\infty\frac{(1-e^{-bx})e^{-bx}}{x}=\ln2$.
комментарий/решение
А) $A$ табыңыз және оны жоғарыда көрсетілгендей берілген шамалар арқылы өрнектеңіз;
Б) Ядродан $r$ қашықтықтағы электр өрісінің кернеулігін $E(r)$ табыңыз. Олардың тәуелділік графигін тұрғызыңыз;
В) Ядродан $r$ қашықтықтағы электр өрісінің потенциалы $\varphi(r)$ мынадай түрде ие $$\varphi(r)=\left(A_1+\frac{A_2}{r}\right)e^{-br}.$$ $A_1,A_2$ және $b$ табыңыз;
Г) Электронды бұлтпен протонның өзара әсерлесу энергиясын $W_e$ табыңыз;
Д) Электронды бұлттың меншікті энергиясы $W_{i}$ табыңыз; Сутегі атомы фотонды жұтып алды, соның нәтижесінде электронды бұлттың тығыздығы келесі өрнекпен сипатталатын болды $$\rho=B\left(1-\frac{r}{2a_0}^2e^{-r/a_0}\right),$$
Е) $B$ табыңыз және оны жоғарыда көрсетілгендей берілген шамалар арқылы өрнектеңіз;
Ж) Жұтылған фотонның $\omega$ айналу жиілігін табыңыз және оның сандық мәнін есептеңіз;
З) Негізінде, жоғарыда көрсетілген ауысу мүмкін емес, өйткені орбиталық моменті нөлге тең екі электрондардың күйлері арасында болып тұр. Істің неге осылай боп қалуын ұйғара аласыз ба? Ескерту. Келесі интеграл мәндерін пайдаланыңыз:
$\int e^{-bx}\,dx=-\frac{1}{b}e^{-bx}+C$, мұндағы $C$ — кез-келген тұрақты,
$\int x^ne^{-bx}\,dx=-\frac{x^n}{b}e^{-bx}+\frac{n}{b}\int x^{n-1}e^{-bx}\,dx$, мұндағы $n$ — натурал сан,
$\int_0^\infty\frac{(1-e^{-bx})^2}{x^2}=b\ln4$,
$\int_0^\infty\frac{(1-e^{-bx})e^{-bx}}{x}=\ln2$.
комментарий/решение