Республиканская олимпиада по физике 2014, 11 класс, теоретический тур

Квантовая модель атома (10.0 балла)
Рассмотрим строение атома водорода с точки зрения квантовой механики. В центре находится неподвижное атомное ядро, представляющее собой положительно заряженный протон. Вокруг ядра движется электрон, однако его траектория с точки зрения квантовой механики неизвестна, так как действует принцип неопределенности Гейзенберга. Из курса химии известно, что в этом случае электрон можно представить как заряженное облако. Пусть в основном состоянии атома водорода объемная плотность заряда электронного облака описывается формулой $\rho_0=Ae^{-2r/a_0}$, где $r$ — расстояние от протона, который можно считать точечным, а $a_0=4\pi \varepsilon_0 h^2 /m_{e} e^2$ — так называемый боровский радиус, $m_{c}=9.11\times10^{-31}$ кг — масса электрона, $e=1,602\times 10^{-19}$Кл — элементарный заряд, $h=1,05\times10^{-34}$ Дж$\cdot$с — постоянная Планка, $\varepsilon_0= 8,85\times 10^{-12}$ Ф/м — диэлектрическая постоянная.
А) Найдите $A$ и выразите его через заданные выше величины;
Б) Найдите напряженность электрического поля $E(r)$ на расстоянии $r$ от ядра. Постройте график этой зависимости;
В) Потенциал электрического поля $\varphi(r)$ на расстоянии $r$ от ядра имеет вид $\varphi(r)=\left(A_1+\frac{A_2}{r}\right)e^{-br}$. Найдите $A_1$, $A_2$ и $b$;
Г) Найдите энергию взаимодействия $W_{e}$ протона с электронным облаком;
Д) Найдите собственную энергию $W_{i}$ электронного облака;
Атом водорода поглотил фотон, в результате чего плотность электронного облака стала описываться формулой $\rho=B\left(1-\frac{r}{2a_0}\right)^2e^{-r/a_0}$;
Е) Найдите $B$ и выразите его через заданные выше величины;
Ж) Найдите круговую частоту $\omega$ поглощенного фотона и рассчитайте ее численное значение;
З) В принципе, указанный выше переход невозможен, так как осуществляется между двумя состояниями электрона, в которых его орбитальный момент равен нулю. Можете ли вы предположить, почему дело обстоит именно так?
Подсказка Используйте следующие значения интегралов:
$\int e^{-bx}\,dx=-\frac{1}{b}e^{-bx}+C$, где $C$ — произвольная постоянная,
$\int x^ne^{-bx}\,dx=-\frac{x^n}{b}e^{-bx}+\frac{n}{b}\int x^{n-1}e^{-bx}\,dx$, где $n$ — натуральное число,
$\int_0^\infty\frac{(1-e^{-bx})^2}{x^2}=b\ln4$,
$\int_0^\infty\frac{(1-e^{-bx})e^{-bx}}{x}=\ln2$.