Республиканская олимпиада по физике 2014, 11 класс, теоретический тур

Атомның кванттық моделі (10.0 ұпай) Кванттық механика тұрғысынан сутегі атомының құрылысын қарастырайық. Ортасында заряды оң протон түріндегі, тыныштықта тұрған атомдық ядросы орналасқан. Ядроны айнала электрон қозғалады, бірақ оның траекториясы кванттық механика тұрғысынан белгісіз, өйткені Гейзенбергтің анықталмағандық принципі орын алады. Осы жағдайда, химия курсынан бізге электронды зарядталған бұлт ретінде санауға болатыны белгілі. Сутегі атомының негізгі күйінде электрон бұлты зарядының көлемдік тығыздығы келесі өрнекпен анықталатын болсын $$\rho_0=Ae^{-2r/a_0},$$ мұндағы $r$ — нүктелік деп есептеуге болатын протоннан қашықтық, ал $a_0=4\pi \varepsilon_0 h^2/m_ee^2$ — бор радиусы, $m_e=9.11\times 10^{-31}$ кг — электрон массасы, $e=1,602\times 10^{-19}$ Кл — элементар заряд, $h=1,05\times 10^{-34}$ Дж $\cdot$ — Планк тұрақтысы, $\varepsilon_0=8,85\times 10^{-12}$ Ф/м — диэлектрлік тұрақты.
А) $A$ табыңыз және оны жоғарыда көрсетілгендей берілген шамалар арқылы өрнектеңіз;
Б) Ядродан $r$ қашықтықтағы электр өрісінің кернеулігін $E(r)$ табыңыз. Олардың тәуелділік графигін тұрғызыңыз;
В) Ядродан $r$ қашықтықтағы электр өрісінің потенциалы $\varphi(r)$ мынадай түрде ие $$\varphi(r)=\left(A_1+\frac{A_2}{r}\right)e^{-br}.$$ $A_1,A_2$ және $b$ табыңыз;
Г) Электронды бұлтпен протонның өзара әсерлесу энергиясын $W_e$ табыңыз;
Д) Электронды бұлттың меншікті энергиясы $W_{i}$ табыңыз; Сутегі атомы фотонды жұтып алды, соның нәтижесінде электронды бұлттың тығыздығы келесі өрнекпен сипатталатын болды $$\rho=B\left(1-\frac{r}{2a_0}^2e^{-r/a_0}\right),$$
Е) $B$ табыңыз және оны жоғарыда көрсетілгендей берілген шамалар арқылы өрнектеңіз;
Ж) Жұтылған фотонның $\omega$ айналу жиілігін табыңыз және оның сандық мәнін есептеңіз;
З) Негізінде, жоғарыда көрсетілген ауысу мүмкін емес, өйткені орбиталық моменті нөлге тең екі электрондардың күйлері арасында болып тұр. Істің неге осылай боп қалуын ұйғара аласыз ба? Ескерту. Келесі интеграл мәндерін пайдаланыңыз:
$\int e^{-bx}\,dx=-\frac{1}{b}e^{-bx}+C$, мұндағы $C$ — кез-келген тұрақты,
$\int x^ne^{-bx}\,dx=-\frac{x^n}{b}e^{-bx}+\frac{n}{b}\int x^{n-1}e^{-bx}\,dx$, мұндағы $n$ — натурал сан,
$\int_0^\infty\frac{(1-e^{-bx})^2}{x^2}=b\ln4$,
$\int_0^\infty\frac{(1-e^{-bx})e^{-bx}}{x}=\ln2$.