қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по физике 2014, 11 класс, теоретический тур
Задача №1. Нелинейная нитка (10.0 балла)
Нитка сделана из резины, которая может растягиваться до длин l, значительно превышающих ее начальную длину l0. У подобной резинки сохраняется ее полный объем.
A) Выразите площадь поперечного сечения S резинки в деформированном состоянии через ее длину l и ее начальные размеры l0, S0;
Б) При малых деформациях резинки сила натяжения F и ее удлинение x связаны законом Гука F=k0x, где начальная жесткость равна k0=E0S0/l0, а E0 — так называемый модуль Юнга. При больших деформациях резинки l≫l0 закон Гука перестает соблюдаться, а вместо этого выполняется закон F(l)=a+bl. Выразите постоянные a и b через l0,S0 и E0;
В) Предположим, что резинка растянута некоторой силой до длины l. Малое изменение ΔF растягивающей силы приводит к малому изменению ее длины Δl≪l. Выразите ΔF через l,l0,E0 и Δl;
Г) Предположим, что к одному из концов резинки присоединено маленькое тело и вся система приведена во вращение относительно другого ее конца. Предполагая движение тела круговым, выразите длину резинки l через кинетическую энергию тела K и через l0, S0, E0;
Д) Проанализируем малые возмущения кругового движения тела из предыдущего пункта. Будем описывать движение системы изменением ее длины r(t)=l(t)−l(0), радиальной ϑr(t) и тангенциальной ϑt скоростями тела (это компоненты скорости соответственно параллельные и перпендикулярные резинки). Обозначим начальные величины как L=l(0),Vr=ϑr(0) и V1=ϑ1(0). Запишите два уравнения, связывающие между собой r(t), ϑr(t) и ϑt(t). В уравнениях используйте следующие величины: масса тела m, а также L, Vr, Vt, l0, S0, E0;
Е) Предполагая r≪l, найдите соотношение между r(t) и ϑr(t), которое также содержит m, L, Vr, Vt, l0, S0, E0. Найдите период T малых осцилляций r(t). Упростите выражение для T при L≫l0.
Подсказка. Вам могут понадобиться следующие формулы:
(1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2, при x≪1,
ln(1+x)=x−x22, при x≪1,
∫dxx=lnx+C, где C — некоторая постоянная.
комментарий/решение
Нитка сделана из резины, которая может растягиваться до длин l, значительно превышающих ее начальную длину l0. У подобной резинки сохраняется ее полный объем.
A) Выразите площадь поперечного сечения S резинки в деформированном состоянии через ее длину l и ее начальные размеры l0, S0;
Б) При малых деформациях резинки сила натяжения F и ее удлинение x связаны законом Гука F=k0x, где начальная жесткость равна k0=E0S0/l0, а E0 — так называемый модуль Юнга. При больших деформациях резинки l≫l0 закон Гука перестает соблюдаться, а вместо этого выполняется закон F(l)=a+bl. Выразите постоянные a и b через l0,S0 и E0;
В) Предположим, что резинка растянута некоторой силой до длины l. Малое изменение ΔF растягивающей силы приводит к малому изменению ее длины Δl≪l. Выразите ΔF через l,l0,E0 и Δl;
Г) Предположим, что к одному из концов резинки присоединено маленькое тело и вся система приведена во вращение относительно другого ее конца. Предполагая движение тела круговым, выразите длину резинки l через кинетическую энергию тела K и через l0, S0, E0;
Д) Проанализируем малые возмущения кругового движения тела из предыдущего пункта. Будем описывать движение системы изменением ее длины r(t)=l(t)−l(0), радиальной ϑr(t) и тангенциальной ϑt скоростями тела (это компоненты скорости соответственно параллельные и перпендикулярные резинки). Обозначим начальные величины как L=l(0),Vr=ϑr(0) и V1=ϑ1(0). Запишите два уравнения, связывающие между собой r(t), ϑr(t) и ϑt(t). В уравнениях используйте следующие величины: масса тела m, а также L, Vr, Vt, l0, S0, E0;
Е) Предполагая r≪l, найдите соотношение между r(t) и ϑr(t), которое также содержит m, L, Vr, Vt, l0, S0, E0. Найдите период T малых осцилляций r(t). Упростите выражение для T при L≫l0.
Подсказка. Вам могут понадобиться следующие формулы:
(1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2, при x≪1,
ln(1+x)=x−x22, при x≪1,
∫dxx=lnx+C, где C — некоторая постоянная.
комментарий/решение
Задача №2. Нелинейный резистор (10.0 балла)
Эксперименты по измерению электрического сопротивления нелинейного резистора показали следующее. При повышении температуры резистора от комнатной температуры T0=20∘ С до температуры T1=100∘ С мгновенно происходи» скачок величины сопротивления от R1=50 до R2=100 Ом. При понижении температуры обратный скачок происходит при более низкой температуре, равной T2=99∘ С. К резистору подключили источник с напряжением U1=60 В и, спустя некоторое время, его температура установилась равной T3=80∘ С. После этого в начальный момент времени t=0 к резистору, имеющему температуру T0, подключили источник с напряжением U1=80 В и обнаружили, что в цепи возникли электрические колебания тока. Теплоемкость резистора равна C=3 Дж/К, а температура в комнате остается постоянной. Считайте, что теплоотдача от резистора пропорциональна разности температур резистора и окружающего воздуха в соответствии с законом Ньютона-Рихмана Pext=α(Ts−T0), где Pext — мощность потерь с поверхности проводника температурой поверхности Ts, T0 — температура окружающего воздуха в комнате, α — некоторая постоянная, называемая коэффициентом теплоотдачи.
А) Найдите и рассчитайте коэффициент теплоотдачи α;
Б) При разогреве резистора от момента времени t=0 его температура изменяется по закону T(t)=A1+A2ebt. Найдите A1, A2 и b;
В) Определите момент времени T1, когда произойдет первый скачок сопротивления резистора;
Г) Чему равен период τ0 установившихся колебаний температуры?
Д) Какое количество джоулева тепла Q выделяется на резисторе за один период колебаний?
комментарий/решение
Эксперименты по измерению электрического сопротивления нелинейного резистора показали следующее. При повышении температуры резистора от комнатной температуры T0=20∘ С до температуры T1=100∘ С мгновенно происходи» скачок величины сопротивления от R1=50 до R2=100 Ом. При понижении температуры обратный скачок происходит при более низкой температуре, равной T2=99∘ С. К резистору подключили источник с напряжением U1=60 В и, спустя некоторое время, его температура установилась равной T3=80∘ С. После этого в начальный момент времени t=0 к резистору, имеющему температуру T0, подключили источник с напряжением U1=80 В и обнаружили, что в цепи возникли электрические колебания тока. Теплоемкость резистора равна C=3 Дж/К, а температура в комнате остается постоянной. Считайте, что теплоотдача от резистора пропорциональна разности температур резистора и окружающего воздуха в соответствии с законом Ньютона-Рихмана Pext=α(Ts−T0), где Pext — мощность потерь с поверхности проводника температурой поверхности Ts, T0 — температура окружающего воздуха в комнате, α — некоторая постоянная, называемая коэффициентом теплоотдачи.
А) Найдите и рассчитайте коэффициент теплоотдачи α;
Б) При разогреве резистора от момента времени t=0 его температура изменяется по закону T(t)=A1+A2ebt. Найдите A1, A2 и b;
В) Определите момент времени T1, когда произойдет первый скачок сопротивления резистора;
Г) Чему равен период τ0 установившихся колебаний температуры?
Д) Какое количество джоулева тепла Q выделяется на резисторе за один период колебаний?
комментарий/решение
Задача №3. Квантовая модель атома (10.0 балла)
Рассмотрим строение атома водорода с точки зрения квантовой механики. В центре находится неподвижное атомное ядро, представляющее собой положительно заряженный протон. Вокруг ядра движется электрон, однако его траектория с точки зрения квантовой механики неизвестна, так как действует принцип неопределенности Гейзенберга. Из курса химии известно, что в этом случае электрон можно представить как заряженное облако. Пусть в основном состоянии атома водорода объемная плотность заряда электронного облака описывается формулой ρ0=Ae−2r/a0, где r — расстояние от протона, который можно считать точечным, а a0=4πε0h2/mee2 — так называемый боровский радиус, mc=9.11×10−31 кг — масса электрона, e=1,602×10−19Кл — элементарный заряд, h=1,05×10−34 Дж⋅с — постоянная Планка, ε0=8,85×10−12 Ф/м — диэлектрическая постоянная.
А) Найдите A и выразите его через заданные выше величины;
Б) Найдите напряженность электрического поля E(r) на расстоянии r от ядра. Постройте график этой зависимости;
В) Потенциал электрического поля φ(r) на расстоянии r от ядра имеет вид φ(r)=(A1+A2r)e−br. Найдите A1, A2 и b;
Г) Найдите энергию взаимодействия We протона с электронным облаком;
Д) Найдите собственную энергию Wi электронного облака;
Атом водорода поглотил фотон, в результате чего плотность электронного облака стала описываться формулой ρ=B(1−r2a0)2e−r/a0;
Е) Найдите B и выразите его через заданные выше величины;
Ж) Найдите круговую частоту ω поглощенного фотона и рассчитайте ее численное значение;
З) В принципе, указанный выше переход невозможен, так как осуществляется между двумя состояниями электрона, в которых его орбитальный момент равен нулю. Можете ли вы предположить, почему дело обстоит именно так?
Подсказка Используйте следующие значения интегралов:
∫e−bxdx=−1be−bx+C, где C — произвольная постоянная,
∫xne−bxdx=−xnbe−bx+nb∫xn−1e−bxdx, где n — натуральное число,
∫∞0(1−e−bx)2x2=bln4,
∫∞0(1−e−bx)e−bxx=ln2.
комментарий/решение
Рассмотрим строение атома водорода с точки зрения квантовой механики. В центре находится неподвижное атомное ядро, представляющее собой положительно заряженный протон. Вокруг ядра движется электрон, однако его траектория с точки зрения квантовой механики неизвестна, так как действует принцип неопределенности Гейзенберга. Из курса химии известно, что в этом случае электрон можно представить как заряженное облако. Пусть в основном состоянии атома водорода объемная плотность заряда электронного облака описывается формулой ρ0=Ae−2r/a0, где r — расстояние от протона, который можно считать точечным, а a0=4πε0h2/mee2 — так называемый боровский радиус, mc=9.11×10−31 кг — масса электрона, e=1,602×10−19Кл — элементарный заряд, h=1,05×10−34 Дж⋅с — постоянная Планка, ε0=8,85×10−12 Ф/м — диэлектрическая постоянная.
А) Найдите A и выразите его через заданные выше величины;
Б) Найдите напряженность электрического поля E(r) на расстоянии r от ядра. Постройте график этой зависимости;
В) Потенциал электрического поля φ(r) на расстоянии r от ядра имеет вид φ(r)=(A1+A2r)e−br. Найдите A1, A2 и b;
Г) Найдите энергию взаимодействия We протона с электронным облаком;
Д) Найдите собственную энергию Wi электронного облака;
Атом водорода поглотил фотон, в результате чего плотность электронного облака стала описываться формулой ρ=B(1−r2a0)2e−r/a0;
Е) Найдите B и выразите его через заданные выше величины;
Ж) Найдите круговую частоту ω поглощенного фотона и рассчитайте ее численное значение;
З) В принципе, указанный выше переход невозможен, так как осуществляется между двумя состояниями электрона, в которых его орбитальный момент равен нулю. Можете ли вы предположить, почему дело обстоит именно так?
Подсказка Используйте следующие значения интегралов:
∫e−bxdx=−1be−bx+C, где C — произвольная постоянная,
∫xne−bxdx=−xnbe−bx+nb∫xn−1e−bxdx, где n — натуральное число,
∫∞0(1−e−bx)2x2=bln4,
∫∞0(1−e−bx)e−bxx=ln2.
комментарий/решение