қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по физике 2014, 11 класс, теоретический тур
Задача №1. Нелинейная нитка (10.0 балла)
Нитка сделана из резины, которая может растягиваться до длин $l$, значительно превышающих ее начальную длину $l_0$. У подобной резинки сохраняется ее полный объем.
A) Выразите площадь поперечного сечения $S$ резинки в деформированном состоянии через ее длину $l$ и ее начальные размеры $l_0$, $S_0$;
Б) При малых деформациях резинки сила натяжения $F$ и ее удлинение $x$ связаны законом Гука $F=k_0x$, где начальная жесткость равна $k_0=E_0S_0/l_0$, а $E_0$ — так называемый модуль Юнга. При больших деформациях резинки $l\gg l_0$ закон Гука перестает соблюдаться, а вместо этого выполняется закон $F(l)=a+\frac{b}{l}$. Выразите постоянные $a$ и $b$ через $l_0, S_0$ и $E_0$;
В) Предположим, что резинка растянута некоторой силой до длины $l$. Малое изменение $\Delta F$ растягивающей силы приводит к малому изменению ее длины $\Delta l\ll l$. Выразите $\Delta F$ через $l,l_0,E_0$ и $\Delta l$;
Г) Предположим, что к одному из концов резинки присоединено маленькое тело и вся система приведена во вращение относительно другого ее конца. Предполагая движение тела круговым, выразите длину резинки $l$ через кинетическую энергию тела $K$ и через $l_0$, $S_0$, $E_0$;
Д) Проанализируем малые возмущения кругового движения тела из предыдущего пункта. Будем описывать движение системы изменением ее длины $r(t)=l(t)-l(0)$, радиальной $\vartheta_{r}(t)$ и тангенциальной $\vartheta_{t}$ скоростями тела (это компоненты скорости соответственно параллельные и перпендикулярные резинки). Обозначим начальные величины как $L=l(0)$,$V_r=\vartheta_r(0)$ и $V_1=\vartheta_1(0)$. Запишите два уравнения, связывающие между собой $r(t)$, $\vartheta_r(t)$ и $\vartheta_t(t)$. В уравнениях используйте следующие величины: масса тела $m$, а также $L$, $V_r$, $V_t$, $l_0$, $S_0$, $E_0$;
Е) Предполагая $r\ll l$, найдите соотношение между $r(t)$ и $\vartheta_r(t)$, которое также содержит $m$, $L$, $V_r$, $V_t$, $l_0$, $S_0$, $E_0$. Найдите период $T$ малых осцилляций $r(t)$. Упростите выражение для $T$ при $L\gg l_0$.
Подсказка. Вам могут понадобиться следующие формулы:
$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2$, при $x\ll1$,
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}$, при $x\ll1$,
$\int \frac{dx}{x}=\ln x+C$, где $C$ — некоторая постоянная.
комментарий/решение
Нитка сделана из резины, которая может растягиваться до длин $l$, значительно превышающих ее начальную длину $l_0$. У подобной резинки сохраняется ее полный объем.
A) Выразите площадь поперечного сечения $S$ резинки в деформированном состоянии через ее длину $l$ и ее начальные размеры $l_0$, $S_0$;
Б) При малых деформациях резинки сила натяжения $F$ и ее удлинение $x$ связаны законом Гука $F=k_0x$, где начальная жесткость равна $k_0=E_0S_0/l_0$, а $E_0$ — так называемый модуль Юнга. При больших деформациях резинки $l\gg l_0$ закон Гука перестает соблюдаться, а вместо этого выполняется закон $F(l)=a+\frac{b}{l}$. Выразите постоянные $a$ и $b$ через $l_0, S_0$ и $E_0$;
В) Предположим, что резинка растянута некоторой силой до длины $l$. Малое изменение $\Delta F$ растягивающей силы приводит к малому изменению ее длины $\Delta l\ll l$. Выразите $\Delta F$ через $l,l_0,E_0$ и $\Delta l$;
Г) Предположим, что к одному из концов резинки присоединено маленькое тело и вся система приведена во вращение относительно другого ее конца. Предполагая движение тела круговым, выразите длину резинки $l$ через кинетическую энергию тела $K$ и через $l_0$, $S_0$, $E_0$;
Д) Проанализируем малые возмущения кругового движения тела из предыдущего пункта. Будем описывать движение системы изменением ее длины $r(t)=l(t)-l(0)$, радиальной $\vartheta_{r}(t)$ и тангенциальной $\vartheta_{t}$ скоростями тела (это компоненты скорости соответственно параллельные и перпендикулярные резинки). Обозначим начальные величины как $L=l(0)$,$V_r=\vartheta_r(0)$ и $V_1=\vartheta_1(0)$. Запишите два уравнения, связывающие между собой $r(t)$, $\vartheta_r(t)$ и $\vartheta_t(t)$. В уравнениях используйте следующие величины: масса тела $m$, а также $L$, $V_r$, $V_t$, $l_0$, $S_0$, $E_0$;
Е) Предполагая $r\ll l$, найдите соотношение между $r(t)$ и $\vartheta_r(t)$, которое также содержит $m$, $L$, $V_r$, $V_t$, $l_0$, $S_0$, $E_0$. Найдите период $T$ малых осцилляций $r(t)$. Упростите выражение для $T$ при $L\gg l_0$.
Подсказка. Вам могут понадобиться следующие формулы:
$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2$, при $x\ll1$,
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}$, при $x\ll1$,
$\int \frac{dx}{x}=\ln x+C$, где $C$ — некоторая постоянная.
комментарий/решение
Задача №2. Нелинейный резистор (10.0 балла)
Эксперименты по измерению электрического сопротивления нелинейного резистора показали следующее. При повышении температуры резистора от комнатной температуры $T_0=20^{\circ}$ С до температуры $T_1=100^{\circ}$ С мгновенно происходи» скачок величины сопротивления от $R_1=50$ до $R_2=100$ Ом. При понижении температуры обратный скачок происходит при более низкой температуре, равной $T_2=99^{\circ}$ С. К резистору подключили источник с напряжением $U_1=60$ В и, спустя некоторое время, его температура установилась равной $T_3=80^{\circ}$ С. После этого в начальный момент времени $t=0$ к резистору, имеющему температуру $T_0$, подключили источник с напряжением $U_1=80$ В и обнаружили, что в цепи возникли электрические колебания тока. Теплоемкость резистора равна $C=3$ Дж/К, а температура в комнате остается постоянной. Считайте, что теплоотдача от резистора пропорциональна разности температур резистора и окружающего воздуха в соответствии с законом Ньютона-Рихмана $P_\text{ext}=\alpha(T_s-T_0)$, где $P_\text{ext}$ — мощность потерь с поверхности проводника температурой поверхности $T_s$, $T_0$ — температура окружающего воздуха в комнате, $\alpha$ — некоторая постоянная, называемая коэффициентом теплоотдачи.
А) Найдите и рассчитайте коэффициент теплоотдачи $\alpha$;
Б) При разогреве резистора от момента времени $t=0$ его температура изменяется по закону $T(t)=A_1+A_2e^{bt}$. Найдите $A_1$, $A_2$ и $b$;
В) Определите момент времени $T_1$, когда произойдет первый скачок сопротивления резистора;
Г) Чему равен период $\tau_0$ установившихся колебаний температуры?
Д) Какое количество джоулева тепла $Q$ выделяется на резисторе за один период колебаний?
комментарий/решение
Эксперименты по измерению электрического сопротивления нелинейного резистора показали следующее. При повышении температуры резистора от комнатной температуры $T_0=20^{\circ}$ С до температуры $T_1=100^{\circ}$ С мгновенно происходи» скачок величины сопротивления от $R_1=50$ до $R_2=100$ Ом. При понижении температуры обратный скачок происходит при более низкой температуре, равной $T_2=99^{\circ}$ С. К резистору подключили источник с напряжением $U_1=60$ В и, спустя некоторое время, его температура установилась равной $T_3=80^{\circ}$ С. После этого в начальный момент времени $t=0$ к резистору, имеющему температуру $T_0$, подключили источник с напряжением $U_1=80$ В и обнаружили, что в цепи возникли электрические колебания тока. Теплоемкость резистора равна $C=3$ Дж/К, а температура в комнате остается постоянной. Считайте, что теплоотдача от резистора пропорциональна разности температур резистора и окружающего воздуха в соответствии с законом Ньютона-Рихмана $P_\text{ext}=\alpha(T_s-T_0)$, где $P_\text{ext}$ — мощность потерь с поверхности проводника температурой поверхности $T_s$, $T_0$ — температура окружающего воздуха в комнате, $\alpha$ — некоторая постоянная, называемая коэффициентом теплоотдачи.
А) Найдите и рассчитайте коэффициент теплоотдачи $\alpha$;
Б) При разогреве резистора от момента времени $t=0$ его температура изменяется по закону $T(t)=A_1+A_2e^{bt}$. Найдите $A_1$, $A_2$ и $b$;
В) Определите момент времени $T_1$, когда произойдет первый скачок сопротивления резистора;
Г) Чему равен период $\tau_0$ установившихся колебаний температуры?
Д) Какое количество джоулева тепла $Q$ выделяется на резисторе за один период колебаний?
комментарий/решение
Задача №3. Квантовая модель атома (10.0 балла)
Рассмотрим строение атома водорода с точки зрения квантовой механики. В центре находится неподвижное атомное ядро, представляющее собой положительно заряженный протон. Вокруг ядра движется электрон, однако его траектория с точки зрения квантовой механики неизвестна, так как действует принцип неопределенности Гейзенберга. Из курса химии известно, что в этом случае электрон можно представить как заряженное облако. Пусть в основном состоянии атома водорода объемная плотность заряда электронного облака описывается формулой $\rho_0=Ae^{-2r/a_0}$, где $r$ — расстояние от протона, который можно считать точечным, а $a_0=4\pi \varepsilon_0 h^2 /m_{e} e^2$ — так называемый боровский радиус, $m_{c}=9.11\times10^{-31}$ кг — масса электрона, $e=1,602\times 10^{-19}$Кл — элементарный заряд, $h=1,05\times10^{-34}$ Дж$\cdot$с — постоянная Планка, $\varepsilon_0= 8,85\times 10^{-12}$ Ф/м — диэлектрическая постоянная.
А) Найдите $A$ и выразите его через заданные выше величины;
Б) Найдите напряженность электрического поля $E(r)$ на расстоянии $r$ от ядра. Постройте график этой зависимости;
В) Потенциал электрического поля $\varphi(r)$ на расстоянии $r$ от ядра имеет вид $\varphi(r)=\left(A_1+\frac{A_2}{r}\right)e^{-br}$. Найдите $A_1$, $A_2$ и $b$;
Г) Найдите энергию взаимодействия $W_{e}$ протона с электронным облаком;
Д) Найдите собственную энергию $W_{i}$ электронного облака;
Атом водорода поглотил фотон, в результате чего плотность электронного облака стала описываться формулой $\rho=B\left(1-\frac{r}{2a_0}\right)^2e^{-r/a_0}$;
Е) Найдите $B$ и выразите его через заданные выше величины;
Ж) Найдите круговую частоту $\omega$ поглощенного фотона и рассчитайте ее численное значение;
З) В принципе, указанный выше переход невозможен, так как осуществляется между двумя состояниями электрона, в которых его орбитальный момент равен нулю. Можете ли вы предположить, почему дело обстоит именно так?
Подсказка Используйте следующие значения интегралов:
$\int e^{-bx}\,dx=-\frac{1}{b}e^{-bx}+C$, где $C$ — произвольная постоянная,
$\int x^ne^{-bx}\,dx=-\frac{x^n}{b}e^{-bx}+\frac{n}{b}\int x^{n-1}e^{-bx}\,dx$, где $n$ — натуральное число,
$\int_0^\infty\frac{(1-e^{-bx})^2}{x^2}=b\ln4$,
$\int_0^\infty\frac{(1-e^{-bx})e^{-bx}}{x}=\ln2$.
комментарий/решение
Рассмотрим строение атома водорода с точки зрения квантовой механики. В центре находится неподвижное атомное ядро, представляющее собой положительно заряженный протон. Вокруг ядра движется электрон, однако его траектория с точки зрения квантовой механики неизвестна, так как действует принцип неопределенности Гейзенберга. Из курса химии известно, что в этом случае электрон можно представить как заряженное облако. Пусть в основном состоянии атома водорода объемная плотность заряда электронного облака описывается формулой $\rho_0=Ae^{-2r/a_0}$, где $r$ — расстояние от протона, который можно считать точечным, а $a_0=4\pi \varepsilon_0 h^2 /m_{e} e^2$ — так называемый боровский радиус, $m_{c}=9.11\times10^{-31}$ кг — масса электрона, $e=1,602\times 10^{-19}$Кл — элементарный заряд, $h=1,05\times10^{-34}$ Дж$\cdot$с — постоянная Планка, $\varepsilon_0= 8,85\times 10^{-12}$ Ф/м — диэлектрическая постоянная.
А) Найдите $A$ и выразите его через заданные выше величины;
Б) Найдите напряженность электрического поля $E(r)$ на расстоянии $r$ от ядра. Постройте график этой зависимости;
В) Потенциал электрического поля $\varphi(r)$ на расстоянии $r$ от ядра имеет вид $\varphi(r)=\left(A_1+\frac{A_2}{r}\right)e^{-br}$. Найдите $A_1$, $A_2$ и $b$;
Г) Найдите энергию взаимодействия $W_{e}$ протона с электронным облаком;
Д) Найдите собственную энергию $W_{i}$ электронного облака;
Атом водорода поглотил фотон, в результате чего плотность электронного облака стала описываться формулой $\rho=B\left(1-\frac{r}{2a_0}\right)^2e^{-r/a_0}$;
Е) Найдите $B$ и выразите его через заданные выше величины;
Ж) Найдите круговую частоту $\omega$ поглощенного фотона и рассчитайте ее численное значение;
З) В принципе, указанный выше переход невозможен, так как осуществляется между двумя состояниями электрона, в которых его орбитальный момент равен нулю. Можете ли вы предположить, почему дело обстоит именно так?
Подсказка Используйте следующие значения интегралов:
$\int e^{-bx}\,dx=-\frac{1}{b}e^{-bx}+C$, где $C$ — произвольная постоянная,
$\int x^ne^{-bx}\,dx=-\frac{x^n}{b}e^{-bx}+\frac{n}{b}\int x^{n-1}e^{-bx}\,dx$, где $n$ — натуральное число,
$\int_0^\infty\frac{(1-e^{-bx})^2}{x^2}=b\ln4$,
$\int_0^\infty\frac{(1-e^{-bx})e^{-bx}}{x}=\ln2$.
комментарий/решение