Республиканская олимпиада по физике 2013, 11 класс, теоретический тур

Задача №1. (10,0 балла)
Тело может двигаться по внутренней поверхности параболоида вращения, сечение которого имеет уравнение

$z=kr^2$ . Тело, находящееся на высоте

$z_0$ от вершины, начинает двигаться вдоль поверхности с горизонтальной скоростью

$\vartheta_0$ . Ускорение свободного падения равно

$g$ , геометрические размеры тела очень малы.

а) При определенном значении горизонтальной скорости

$\vartheta_0$ , которое обозначим

$\vartheta_{h}$ , тело двигается по горизонтальной окружности. Найдите

$\vartheta_{h}$ ;
б) Пусть теперь

$\vartheta_0>\vartheta_h$ . На какую максимальную высоту

$z_{\max}$ поднимется тело?
Пусть теперь

$\vartheta_0=0$ .
в) Считая

$z_0$ малым, найдите период колебаний тела;
г) Пусть

$z_0$ произвольно. Будет ли период движения большим или меньшим по сравнению с вычисленным в пункте в)? Ответ обоснуйте.
комментарий/решение

Задача №2. (7.0 балла)
Рассмотрим явление звуковой люминесценции. Пусть в жидкости в состоянии равновесия находится пузырек с газом. Распространяющаяся в газе звуковая волна сжимает пузырек настолько, что температура газа становится достаточной для излучения света. На самом деле пузырек претерпевает целую серию сжатий и расширений, вызываемых изменением давления в звуковой волне. В дальнейшем будем работать с простейшей моделью звуковой люминесценции. Предположим, что первоначальное давление газа внутри пузырька равно атмосферному

$P_0=100$ кПа. Когда давление в жидкости, окружающей пузырек, уменьшается, пузырек расширяется изотермически до радиуса

$r_{\max}=36.0$ мкм. Когда давление звуковой волны нарастает, пузырек сжимается до радиуса

$r_{\min}=4,50$ мкм настолько быстро, что газ внутри пузырька не успевает обмениваться теплом с окружающей средой. Между сжатием и расширением пузырек изохорически (при постоянном объеме) остывает до начального давления и температуры окружающей среды. Пусть пузырек, содержащий одноатомный идеальный газ, находится в воде, имеющей температуру

$T_0= 293$ К. Универсальная газовая постоянная равна

$R=8.31$ Дж/( моль

$\cdot$ K).

Сколько молей газа $\nu$ содержится внутри одного пузырька?
Чему равно давление газа $P_1$ в пузырьке после расширения?
Чему равно давление газа $P_2$ в пузырьке после его сжатия?
Чему равна температура газа $T_2$ в пузырьке после сжатия?
Чему равна работа $A$ , совершаемая над пузырьком за время одного цикла сжатия и расширения?

комментарий/решение

Задача №3. (8.0 балла)
С помощью кабеля питания высоковольтной линии передается электрический ток синусоидальной формы частотой

$\nu=60$ Гц. Нагрузка работает при действующем значении напряжения

$U_0=500$ кВ и потребляет мощность

$P=1000$ МВт. В данной задаче рассматривайте только электрический ток, текущий в одном из двух возможных направлений и полностью пренебрегайте емкостью и индуктивностью между кабелем и землей. Магнитная постоянная равна

$\mu_0=4\pi\times10^{-7}$ Гн/м. Предположим, что нагрузка представляет собой группу зданий, которые можно рассматривать как обычное сопротивление.

Каково действующее значение электрического тока $I$ в кабеле питания высоковольтной линии передач?
Кабель, имеющий диаметр $d=3$ см и длину $l=500$ км, изготовлен из алюминия с удельным сопротивлением $\rho=2.8\times10^{-8}$ Ом $\cdot$ м. Какая мощность $P_0$ теряется в кабеле питания высоковольтной линии передач?

$a$

Найдите индукцию магнитного поля на расстоянии

$r$ от кабеля;

Найдите аналитическое выражение для э.д.с. индукции, наводимой в контуре кабелем;

Пусть

$a=5$ м,

$b=2$ м и

$h=100$ м. Сколько витков

$N$ должен содержать контур для того, чтобы в нем индуцировалась действующее значение э.д.с., равное

$\varepsilon_{\sigma}=120$ В?

В качестве нагрузки к группе зданий подключается завод, на котором работает большое количество электродвигателей. Оказалась, что потребляемая мощность не изменилась, а сам завод можно рассматривать как катушку индуктивности

$L=0,25$ Гн, подключенную параллельно к группе зданий.

Возросла ли мощность, теряемая в кабеле питания? Ответ обоснуйте;

Энергетическая компания, которой принадлежат сети, решила сделать ситуацию, какой она была до подключения завода. Для этого они параллельно заводу подключили конденсатор. Какова его емкость

$C$ ?

комментарий/решение

Задача №4. (5.0 балла)
В данной задаче рассматривается упрощенная модель электромагнитного излучения, запертого внутри куба со стороной

$L$ . Электрическое поле внутри куба имеет пространственную зависимость

$E(x,y,z)=E_0\sin(k_{x}x)\sin(k_{y}y)\sin(k_{z}z)$ , при этом считается, что одна из вершин куба находится в начале координат, а стороны куба направлены вдоль осей

$x,y$ и

$z$ соответственно. Пусть

$h$ — постоянная Планка,

$k_{B}$ — постоянная Больцмана,

$c$ — скорость света.
а) Электрическое поле должно быть равно нулю на всех гранях куба. Каковы возможные значения

$k_{x},k_{y}$ и

$k_{z}$ ?
б) В этой модели каждому возможному набору значений

$(k_{x},k_{y}$ ,

$k_{z})$ соответствует одно так называемое квантовое состояние. Все возможные квантовые состояния могут быть изображены точками в так называемом пространстве состояний, представляющем собой воображаемое пространство с введенными декартовыми координатами

$k_{x},k_{y}$ и

$k_{z}$ . Сколько состояний

$N$ находится в некотором объеме

$s$ пространства состояний?

$s$ настолько велико, что дискретностью квантовых состояний можно пренебречь;
в) Каждому квантовому состоянию может соответствовать фотон с частотой

$\omega=c|k|$ , где

$|k|=\sqrt{k_{x}^2+k_{y}^2+k_{z}^2}$ . Пусть температура системы равна

$T$ . Известно, что ни один фотон не может иметь энергию, большую чем

$k_{B}T$ . Определите форму и размеры области в пространстве состояний, которая может быть занята фотонами;
г) Пусть каждое возможное квантовое состояние занято одним фотоном. Найдите полную энергию всех фотонов в кубе. Считайте, что температура настолько высока, что внутри куба находится очень большое число квантовых состояний. Подсказка: надо разделить пространство состояний на сферические слои.
комментарий/решение