Республиканская олимпиада по физике 2011, 9 класс, теоретический тур

Задача №1.  Шариковый «беспредел» (8 баллов).
$N$ шариков равномерно лежат полукругом на гладкой плоскости так, как показано на рисунке. Общая масса всех шариков равна $M$. Другой шарик массы $m$ движется слева к полукругу и абсолютно упруго ударяется со всеми $N$ шариками, и в конце концов оказывается с другой стороны полукруга со скоростью, направленной влево.
А) В пределе $N\to\infty$ (то есть когда масса каждого шарика $M/N$ стремится к нулю), найдите минимальное значение отношения $M/m$, при котором указанное движение возможно;
Б) В пределе $N\to\infty$, найдите отношение конечной и начальной скоростей шарика массы $m$.

комментарий/решение

---

Задача №2.  При движении трамвая по горизонтальному участку пути с некоторой скоростью его двигатель потребляет ток 100 А. КПД двигателя — 0,9. При движении трамвая по наклонному участку пути вниз с той же скоростью двигатель тока не потребляет. Какой ток будет потреблять двигатель при движении трамвая по тому же участку пути вверх с той же скоростью? При решении задачи учесть, что КПД двигателя зависит от потребляемого тока.
комментарий/решение

---

Задача №3.  Найти давление в центре жидкой планеты радиуса $R$, если жидкость несжимаема и имеет плотность $\rho$. Выполнить расчет для $R=6,4\cdot 10^6$ м, $\rho=1,7\cdot 10^3$ кг/м$^3$.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Космический корабль движется вокруг Земли по круговой орбите радиусом $R=6570$ км. Сколько топлива потребуется израсходовать для вывода корабля за пределы солнечной системы? Сведения о космическом корабле и его двигательной установке: масса корабля с двигательной установкой и топливом $m_0=40000$ кг; скорость истечения газов $u=4000$ м/с. Сведения о Земле и Солнце: радиус орбиты Земли $R_0=1,5\cdot 10^{11}$ м, масса Земли $M_3=6\cdot 10^{24}$ кг, масса Солнца $M_{c}=2\cdot 10^{30}$ кг, гравитационная постоянная $G=6,67\cdot 10^{-11}$ Н$\cdot$ м$^2$/кг$^2$.
комментарий/решение

---