Районная олимпиада, 2000-2001 учебный год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 5, ни на 7?
комментарий/решение(3)

Задача №2. Какое множество точек задает соотношение

$x^2 + y^2 < 4x + 4y$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. В трапецию можно вписать окружность. Доказать, что окружности, построенные на ее боковых сторонах, как на диаметрах, касаются друг друга.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Положительные числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ таковы, что

$a\geq b \geq c > 0$ и

$a + b + c \le 1$ . Доказать, что

$a^2 + 3b^2 + 5c^2 \le 1$ .
комментарий/решение(2)