қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. Жазықтықта әртүрлі төрт нүкте берілген. Осы нүктелерді қос-қостан алғанда шығатын алты кесіндінің ұзындықтары $a$, $a$, $a$, $a$, $2a$, $b$–ға тең. $\dfrac{b}{a}$ қатынасының мәнін табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Бастапқы $m$ тақ натурал сандардың қосындысы бастапқы $n$ жұп натурал сандардың қосындысынан 212-ге көп болатындай барлық $\left( m,n \right)$ натурал жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. ${{x}^{2013}}+1$ көпмүшесін ${{\left( x+1 \right)}^{3}}$ көпмүшесіне бөлгендегі қалдықты табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. $f:\mathbb{R}\backslash \left\{ 0,1 \right\}\to \mathbb{R}$ функциясы $f\left( x \right)=\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{3}}}{{{x}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ түрінде анықталады. Кез келген $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0,1 \right\}$ саны үшін $f\left( x \right)=f\left( 1-x \right)=f\left( \dfrac{1}{x} \right)$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $ABC$ дұрыс үшбұрышының $AC$ және $AB$ қабырғаларынан $\dfrac{MC}{MA}=\dfrac{NA}{NB}=2$ болатындай сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелері алынған. $BM$ және $CN$ кесінділерінің қиылысын $P$ нүктесімен белгілейік. $\angle APC=90^\circ$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Тақтада 100 сан жазылған: $1$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\ldots$, $\dfrac{1}{100}$. Әр минутта келесі операция орындалады: тақтадан кез келген екі $a$ және $b$ сандары өшіріледі, олардың орнына бір $a+b+ab$ саны жазылады. Бірнеше уақыттан кейін тақтада бір ғана сан қалады. Бұл қандай сан?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)