Математикадан аудандық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. Жазықтықта әртүрлі төрт нүкте берілген. Осы нүктелерді қос-қостан алғанда шығатын алты кесіндінің ұзындықтары

$a$ ,

$2a$ ,

$b$ –ға тең.

$\dfrac{b}{a}$ қатынасының мәнін табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Бастапқы

$m$ тақ натурал сандардың қосындысы бастапқы

$n$ жұп натурал сандардың қосындысынан 212-ге көп болатындай барлық

$\left( m,n \right)$ натурал жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

${{x}^{2013}}+1$ көпмүшесін

${{\left( x+1 \right)}^{3}}$ көпмүшесіне бөлгендегі қалдықты табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$f:\mathbb{R}\backslash \left\{ 0,1 \right\}\to \mathbb{R}$ функциясы

$f\left( x \right)=\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{3}}}{{{x}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ түрінде анықталады. Кез келген

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0,1 \right\}$ саны үшін

$f\left( x \right)=f\left( 1-x \right)=f\left( \dfrac{1}{x} \right)$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABC$ дұрыс үшбұрышының

$AC$ және

$AB$ қабырғаларынан

$\dfrac{MC}{MA}=\dfrac{NA}{NB}=2$ болатындай сәйкесінше

$M$ және

$N$ нүктелері алынған.

$BM$ және

$CN$ кесінділерінің қиылысын

$P$ нүктесімен белгілейік.

$\angle APC=90^\circ$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Тақтада 100 сан жазылған:

$1$ ,

$\dfrac{1}{2}$ ,

$\dfrac{1}{3}$ ,

$\ldots$ ,

$\dfrac{1}{100}$ . Әр минутта келесі операция орындалады: тақтадан кез келген екі

$a$ және

$b$ сандары өшіріледі, олардың орнына бір

$a+b+ab$ саны жазылады. Бірнеше уақыттан кейін тақтада бір ғана сан қалады. Бұл қандай сан?
комментарий/решение(3)