Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 10 класс

Найдите остаток от деления многочлена ${{x}^{2013}}+1$ при делении на многочлен ${{\left( x+1 \right)}^{3}}$.

Комментарий/решение

По теореме Безу найдем остаток:

$$(x+1)^3=0\Rightarrow x=-1$$ $$P_{2013}(x)=x^{2013}+1\Rightarrow R=P_{2013}(-1)=0$$

Все же предложенное решение неверно.Предлагаю правильное решение.

Так как x^2013 + 1 = (x + 1)(x^2012 – x^2011 + x&^2010 +... + x^2 – x + 1) = (x + 1)[(x + 1)^2g(x) + ax + b]. Отсюда x^2012 – x^2011 + x^2010 +... + x^2 – x + 1 = (x + 1)2g(x) + ax + b. (1)

Продифференцировав обе части равенства (1), получим -a + b = 2013, a = -(2012 + 2011 +... + 2 + 1)h_ВВедите тескт...@http://_h

2012x^2011 – 2011x^2010 +…+ x – 1 = 2(x + 1)r(x) + (x + 1)^2 + a. (2)

Из равенств (1) и (2) при x = –1 получим . Отсюда

a = –20131006, b = –20131005. Таким образом, остаток остаток при делении многочлена x2013 + 1 на (x + 1)3 будет иметь вид (x + 1)(–20131006x – 20131005) = –2013(x + 1) – 20131006(x + 1)2.