қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Шесть попарных расстояний между четырьмя различными точками на плоскости равны
$a,~a,~a,~a,~2a,~b$. Найдите отношение $\frac{b}{a}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Найдите все пары натуральных чисел $\left( m,n \right)$, удовлетворяющие следующему условию: сумма первых $m$ нечетных натуральных чисел на 212 больше суммы первых $n$ четных натуральных чисел.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Найдите остаток от деления многочлена ${{x}^{2013}}+1$ при делении
на многочлен ${{\left( x+1 \right)}^{3}}$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Функция $f:\mathbb{R}\backslash \left\{ 0,1 \right\}\to \mathbb{R}$ задается следующим образом:
$f\left( x \right)=\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{3}}}{{{x}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$. Докажите, что $f\left( x \right)=f\left( 1-x \right)=f\left( \dfrac{1}{x} \right)$ для всех $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0,1 \right\}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. На сторонах $AC$ и $AB$ равностороннего треугольника $ABC$ взяты точки $M$ и $N$, соответственно, так, что $\frac{MC}{MA}=\frac{NA}{NB}=2$. Пусть $P$ — точка пересечения отрезков $BM$ и $CN$. Докажите, что $\angle APC=90^\circ$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. На доске написаны 100 чисел:
$1$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\ldots$, $\frac{1}{100}$.
Каждую минуту проделывается следующая операция: какие-либо два числа $a,~b$ стираются и вместо них пишется одно число $a+b+ab$. Через
некоторое время на доске остается только одно число. Какое это число?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)