Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 10 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  Шесть попарных расстояний между четырьмя различными точками на плоскости равны a, a, a, a, 2a, b. Найдите отношение ba.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все пары натуральных чисел (m,n), удовлетворяющие следующему условию: сумма первых m нечетных натуральных чисел на 212 больше суммы первых n четных натуральных чисел.
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Найдите остаток от деления многочлена x2013+1 при делении на многочлен (x+1)3.
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Функция f:R{0,1}R задается следующим образом: f(x)=(x2x+1)3x2(x1)2. Докажите, что f(x)=f(1x)=f(1x) для всех xR{0,1}.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  На сторонах AC и AB равностороннего треугольника ABC взяты точки M и N, соответственно, так, что MCMA=NANB=2. Пусть P — точка пересечения отрезков BM и CN. Докажите, что APC=90.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  На доске написаны 100 чисел: 1, 12, 13, , 1100. Каждую минуту проделывается следующая операция: какие-либо два числа a, b стираются и вместо них пишется одно число a+b+ab. Через некоторое время на доске остается только одно число. Какое это число?
комментарий/решение(3)