Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Шесть попарных расстояний между четырьмя различными точками на плоскости равны
a, a, a, a, 2a, b. Найдите отношение ba.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Найдите все пары натуральных чисел (m,n), удовлетворяющие следующему условию: сумма первых m нечетных натуральных чисел на 212 больше суммы первых n четных натуральных чисел.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Найдите остаток от деления многочлена x2013+1 при делении
на многочлен (x+1)3.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Функция f:R∖{0,1}→R задается следующим образом:
f(x)=(x2−x+1)3x2(x−1)2. Докажите, что f(x)=f(1−x)=f(1x) для всех x∈R∖{0,1}.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. На сторонах AC и AB равностороннего треугольника ABC взяты точки M и N, соответственно, так, что MCMA=NANB=2. Пусть P — точка пересечения отрезков BM и CN. Докажите, что ∠APC=90∘.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. На доске написаны 100 чисел:
1, 12, 13, …, 1100.
Каждую минуту проделывается следующая операция: какие-либо два числа a, b стираются и вместо них пишется одно число a+b+ab. Через
некоторое время на доске остается только одно число. Какое это число?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)