Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 10 класс

Найдите все пары натуральных чисел $\left( m,n \right)$, удовлетворяющие следующему условию: сумма первых $m$ нечетных натуральных чисел на 212 больше суммы первых $n$ четных натуральных чисел.

Комментарий/решение

$S_{2}-S_{1}=m^2-n^2=212$ , $(m-n)(m+n)=212$ , $212=2*106$ , после перебора получим всего два решения $m=\pm 54, n=\pm 52$.

Алғашқы $R$ натурал сандардың қосындысы

\[ S = \frac{(R+1)^2}{4} + \frac{(2+R-1)(R-1)}{4} \]

Мұндағы $R$ – тақ сан, $\frac{(R+1)^2}{4}$ бастапқы $m$ тақ сан,

$\frac{(2+R-1)(R-1)}{4}$ - бастапқы $n$ жұп натурал сандар қосындысы. $R – 1 = t$ деп белгілейміз.

І тәсіл. Сонымен, есеп шарты бойынша

\[ \frac{(R+1)^2}{4} - \frac{(2+t)t}{4} = 212 \Rightarrow R^2 + 2R + 1 – 2t - t^2 = 848 \, (t – жұп сан) \]

\[ (R – t)(R + t) + 2(R – t) = 847 \]

\[ (R – t)(R + t + 2) = 7 \cdot 112 \]

1)R-t=7, R+t+2=121 , R=63, t=56

2) R-t=11, R+t+2=77 , R=43, t=32

3)R-t=1, R+t+2=847 , R=423, t=422

4) R-t=7, R+t+2=11 , R=8, t=1 (болуы мүмкін емес, өйткені бізде $R$ – тақ, ал $t$ – жұп сандар)}

а) жағдай. $2m – 1 = 63$, $2n = 56$ $\Rightarrow m = 32$, $n = 28$

ә) жағдай. $2m – 1 = 43$, $2n = 32$ $\Rightarrow m = 22$, $n = 16$

б) жағдай. $2m – 1 = 423$, $2n = 422$ $\Rightarrow m = 212$, $n = 211$

Жауап: $(32;28)$, $(22;16)$, $(212;211)$

ІІ тәсіл.

\[ \frac{(1+2m-1)m}{2} - \frac{(2+2n)n}{2} = 212 \Rightarrow m^2 - n^2 - n = 212 \]

болатын $n$ – ге қатысты квадрат теңдеу аламыз:

\[ D = \frac{1}{4} + m^2 – 212 \geq 0 \Rightarrow m \geq \frac{11\sqrt{2}}{2}, \, m > n \]

Егер $m = n + 1$ болса, онда $m = 212$, $n = 211$ болады. $m \neq \frac{11\sqrt{2}}{2}$, $m > 15$, осыдан, $m$ – нің мәндері теңдеудің түбірлері болатындай етіп, іріктеп алатынымыз $m = 22$ және $m = 32$.

Енді $m \leq 212$ болатындығын көрсетейік. Келесі қосынды берілсін

\[ 1 +2 +3 + \ldots + m \]

мұндағы $m$ тақ сан болсын. Егер тағы да есеп шартына жүгінсек, онда

\[ \frac{(1+2m-1)m}{2} - \frac{(2+2m-2)(m-1)}{2} = m, \]

яғни $m \leq 212$.