Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 10 класс

На сторонах $AC$ и $AB$ равностороннего треугольника $ABC$ взяты точки $M$ и $N$, соответственно, так, что $\frac{MC}{MA}=\frac{NA}{NB}=2$. Пусть $P$ — точка пересечения отрезков $BM$ и $CN$. Докажите, что $\angle APC=90^\circ$.

Комментарий/решение

Откуда следует что $MA=NB$ , заметим что $\angle ACN = \angle MBC$ и $ \angle ABM = \angle BCN$ , значит $ \angle BPC = 120^{o}$ , то есть около четырехугольника $ANMP$ можно описать окружность.Надо доказать что угол $\angle APM=30^{o}$, вписанные углы $\angle APM = \angle ANM$. $CN=\sqrt{3}AM$, из $\Delta ANM$ получим $\dfrac{AM}{sin \angle ANM}=\dfrac{\sqrt{3}AM}{sin60^{o}}$ , $sin \angle ANM=30^{o}$ , то есть угол $\angle APC=30^{o}+60^{o}=90^{o}$