Математикадан аудандық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 10 сынып

$ABC$ дұрыс үшбұрышының $AC$ және $AB$ қабырғаларынан $\dfrac{MC}{MA}=\dfrac{NA}{NB}=2$ болатындай сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелері алынған. $BM$ және $CN$ кесінділерінің қиылысын $P$ нүктесімен белгілейік. $\angle APC=90^\circ$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Откуда следует что $MA=NB$ , заметим что $\angle ACN = \angle MBC$ и $\angle ABM = \angle BCN$ , значит $\angle BPC = 120^{o}$ , то есть около четырехугольника $ANMP$ можно описать окружность.Надо доказать что угол $\angle APM=30^{o}$, вписанные углы $\angle APM = \angle ANM$. $CN=\sqrt{3}AM$, из $\Delta ANM$ получим $\dfrac{AM}{sin \angle ANM}=\dfrac{\sqrt{3}AM}{sin60^{o}}$ , $sin \angle ANM=30^{o}$ , то есть угол $\angle APC=30^{o}+60^{o}=90^{o}$