Математикадан аудандық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$ABCD$ квадраты берілген.

$AC$ және

$BC$ кесінділерінен сәйкесінше, кесінді ұштарымен беттеспейтін,

$M$ және

$N$ нүктелері алынған. Егер

$MN=MD$ екені белгілі болса,

$MDN$ бұрышының мәнін табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Өзара жай

$a$ және

$b$

${(a > b)}$ сандары үшін

$\dfrac{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{{{\left( a-b \right)}^{3}}}=\dfrac{73}{3}$ теңдеуі орындалса,

${a-b}$ өрнегінің мәнін табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Аралда 7 көк, 9 жасыл және 11 қызыл құбылғы өмір сүреді. Егер екі түсті құбылғы кездессе, екеуі де түсін үшінші түске өзгертеді (көк және жасыл — қызылға, тағы сол сияқты). Бір мезетте барлық құбылғылардың түстері бірдей бола ала ма?
комментарий/решение(3)

Есеп №4.

$k$ — бүтін саны үшін

${{k}^{4}}+64$ саны жай болу мүмкін бе?
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$AD$ биіктігі

$BC$ қабырғасынан екі есе кіші

$ABC$ үшбұрышында

$A$ бұрышы доғал бола ала ма?
комментарий/решение(2)

Есеп №6.

$a$ — ның қандай мәнінде

$\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = a + 1,\\ xy + yz + zx = 2a,\\ xyz = a, \end{array} \right.$ теңдеулер жүйесінің нақты сандар жиынында шешімі бар?
комментарий/решение(2)