Processing math: 100%

Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 9 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Дан квадрат ABCD. На отрезках AC и BC взяты точки M и N, не совпадающие с концами отрезков, соответственно, так, что MN=MD. Найдите величину угла MDN.
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Взаимно простые числа a, b (a>b) удовлетворяют соотношению a3b3(ab)3=733. Вычислите значение ab.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  На острове живут 7 синих, 9 зеленых и 11 красных хамелеонов. Когда два хамелеона разного цвета встречаются, они оба меняют свой цвет на третий (синий и зеленый — на красный, и так далее). Возможно ли, что в какой-то момент все хамелеоны станут одного цвета?
комментарий/решение(3)
Задача №4.  Существует ли простое число вида k4+64, где k — целое число?
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Длина высоты AD треугольника ABC в два раза меньше длины стороны BC. Может ли угол A быть тупым?
комментарий/решение(2)
Задача №6.  При каких значениях параметра a система {x+y+z=a+1,xy+yz+zx=2a,xyz=a, имеет решение в вещественных числах?
комментарий/решение(2)