қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Дан квадрат $ABCD$. На отрезках $AC$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$, не совпадающие с концами отрезков,
соответственно, так, что $MN=MD$. Найдите величину угла $\angle MDN$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Взаимно простые числа $a,~b$ ($a>b$) удовлетворяют соотношению
$\dfrac{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{{{\left( a-b \right)}^{3}}}=\dfrac{73}{3}$. Вычислите значение $a-b$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. На острове живут 7 синих, 9 зеленых и 11 красных хамелеонов. Когда
два хамелеона разного цвета встречаются, они оба меняют свой цвет на третий (синий и зеленый — на красный, и так далее). Возможно ли, что в какой-то момент все хамелеоны станут одного цвета?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Существует ли простое число вида ${{k}^{4}}+64$, где $k$ — целое число?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Длина высоты $AD$ треугольника $ABC$ в два раза меньше длины стороны $BC$. Может ли угол $A$ быть тупым?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. При каких значениях параметра $a$ система
$
\left\{ \begin{matrix}
x+y+z=a+1, \\
xy+yz+zx=2a, \\
xyz=a, \\
\end{matrix} \right.
$
имеет решение в вещественных числах?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)