Математикадан жасөспірімдер арасындағы 20-шы Балкан олимпиадасы
Родос, Греция, 2018 жыл

Есеп №1. $m^5-n^5=16mn$ теңдеуін бүтін сандар жүйесінде шешіңіздер.
комментарий/решение(14)

---

Есеп №2. Келесі шарттарды қанағаттандыратын үш таңбалы сандардың ең үлкен санын табыңыз:
1) әрбір санның цифрлар қосындысы $9$-ға тең;
2) ешқандай сан құрамында $0$ цифрасы жоқ;
3) кез-келген екеуінде бірлік цифрлары әртүрлі;
4) кез-келген екеуінде ондық цифрлары әртүрлі;
5) кез-келген екеуінде жүздік цифрлары әртүрлі.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №3. Нөлге тең емес және барлығы бір уақытта бір-біріне тең емес рационал $x_1,x_2,\ldots,x_n$ сандары бар болатындай ($n$-тақ және $2018$-ден үлкен), және келесі шартты қанағаттандыратын ең кіші натурал $k>1$ санын табыңыз: $x_1+\frac{k}{x_2}=x_2+\frac{k}{x_3}=x_3+\frac{k}{x_4}=\ldots=x_{n-1}+\frac{k}{x_n}=x_n+\frac{k}{x_1}.$
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. $ABC$ үшбұрышы берілсін. $A'$, $B'$, $C'$ нүктелері қарама-қарсы қабырғаларға қатысты төбелерге симметриялы. $ ABB'$ және $ACC'$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $A_1$ нүктесінде қиылыссын. Дәл сол сияқты $B_1$ және $C_1$ нүктелерін анықтайық. $AA_1$, $BB_1$ және $CC_1$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

---