Математикадан жасөспірімдер арасындағы 20-шы Балкан олимпиадасы
Родос, Греция, 2018 жыл


Есеп №1. m5n5=16mn теңдеуін бүтін сандар жүйесінде шешіңіздер.
комментарий/решение(14)
Есеп №2. Келесі шарттарды қанағаттандыратын үш таңбалы сандардың ең үлкен санын табыңыз:
1) әрбір санның цифрлар қосындысы 9-ға тең;
2) ешқандай сан құрамында 0 цифрасы жоқ;
3) кез-келген екеуінде бірлік цифрлары әртүрлі;
4) кез-келген екеуінде ондық цифрлары әртүрлі;
5) кез-келген екеуінде жүздік цифрлары әртүрлі.
комментарий/решение(4)
Есеп №3. Нөлге тең емес және барлығы бір уақытта бір-біріне тең емес рационал x1,x2,,xn сандары бар болатындай (n-тақ және 2018-ден үлкен), және келесі шартты қанағаттандыратын ең кіші натурал k>1 санын табыңыз: x1+kx2=x2+kx3=x3+kx4==xn1+kxn=xn+kx1.
комментарий/решение(1)
Есеп №4. ABC үшбұрышы берілсін. A, B, C нүктелері қарама-қарсы қабырғаларға қатысты төбелерге симметриялы. ABB және ACC үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер A1 нүктесінде қиылыссын. Дәл сол сияқты B1 және C1 нүктелерін анықтайық. AA1, BB1 және CC1 түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
результаты