Математикадан жасөспірімдер арасындағы 20-шы Балкан олимпиадасы
Родос, Греция, 2018 жыл
ABC үшбұрышы берілсін. A′, B′, C′ нүктелері қарама-қарсы қабырғаларға қатысты төбелерге симметриялы. ABB′ және ACC′ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер A1 нүктесінде қиылыссын. Дәл сол сияқты B1 және C1 нүктелерін анықтайық. AA1, BB1 және CC1 түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
∠ABC=∠B и т.д отметим что точка A1 лежит на пересечений C′B∩B′C так как из того что BAB′A1 вписанный и учитывая симметрию, то ∠A1BC=180∘−2∠B и ∠A1CB=180−2∠C что верно так как ∠BA1C=180∘−2∠A учитывая ту же симметрию AB=AB′ откуда AA1 биссектриса ∠BA1C, так же и с другими.
Пусть E,D,F определены как BC∩AA1,AB∩CC1,AC∩BB1 соотвественно, по теореме Чевы надо доказать что N=BDAD⋅AFCF⋅CEBE=1 с другой стороны так как AA1,BB1,CC1 биссектрисы, то
N=C1BC1A⋅AB1CB1⋅CA1BA1=sin2∠Asin2∠B⋅sin2∠Csin2∠A⋅sin2∠Bsin2∠C=1
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.