Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан жасөспірімдер арасындағы 20-шы Балкан олимпиадасы
Родос, Греция, 2018 жыл


ABC үшбұрышы берілсін. A, B, C нүктелері қарама-қарсы қабырғаларға қатысты төбелерге симметриялы. ABB және ACC үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер A1 нүктесінде қиылыссын. Дәл сол сияқты B1 және C1 нүктелерін анықтайық. AA1, BB1 және CC1 түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
6 года 8 месяца назад #

ABC=B и т.д отметим что точка A1 лежит на пересечений CBBC так как из того что BABA1 вписанный и учитывая симметрию, то A1BC=1802B и A1CB=1802C что верно так как BA1C=1802A учитывая ту же симметрию AB=AB откуда AA1 биссектриса BA1C, так же и с другими.

Пусть E,D,F определены как BCAA1,ABCC1,ACBB1 соотвественно, по теореме Чевы надо доказать что N=BDADAFCFCEBE=1 с другой стороны так как AA1,BB1,CC1 биссектрисы, то

N=C1BC1AAB1CB1CA1BA1=sin2Asin2Bsin2Csin2Asin2Bsin2C=1

  0
7 месяца 26 дней назад #

Инверсия+симметрия bc B=>C,B=>C=>>BBCC=H=>>AH и AA1 изогональны AA1 проходит через O