20-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Родос, Греция, 2018 год

Задача №1.  Решите уравнение $m^5-n^5=16mn$ в целых числах.
комментарий/решение(14)

---

Задача №2.  Найдите наибольшее количество трехзначных чисел таких, что одновременно выполнены следующие условия:
1) сумма цифр каждого числа равна $9$;
2) никакое число не содержит цифру $0$;
3) любые два числа имеют разные единичные цифры;
4) любые два числа имеют разные десятичные цифры;
5) любые два имеют разные сотые цифры.
комментарий/решение(3)

---

Задача №3.  Найдите наименьшее натуральное число $k > 1$ такое, что существуют такие ненулевые рациональные числа $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ($n$ --- нечетное число большее 2018), среди которых есть два неравных, и выполнено равенство $x_1+\frac{k}{x_2}=x_2+\frac{k}{x_3}=\ldots=x_{n-1}+\frac{k}{x_n}=x_n+\frac{k}{x_1}.$
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Дан треугольник $\triangle ABC$. Точки $A'$, $B'$, $C'$ симметричны вершинам относительно противоположных сторон. Описанные окружности $\triangle ABB'$ и $\triangle ACC'$ пересекаются в точке $A_1$. Аналогично определяются точки $B_1$ и $C_1$. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(2)

---