Математикадан жасөспірімдер арасындағы 20-шы Балкан олимпиадасыРодос, Греция, 2018 жыл

Нөлге тең емес және барлығы бір уақытта бір-біріне тең емес рационал $x_1,x_2,\ldots,x_n$ сандары бар болатындай ($n$-тақ және $2018$-ден үлкен), және келесі шартты қанағаттандыратын ең кіші натурал $k>1$ санын табыңыз: $x_1+\frac{k}{x_2}=x_2+\frac{k}{x_3}=x_3+\frac{k}{x_4}=\ldots=x_{n-1}+\frac{k}{x_n}=x_n+\frac{k}{x_1}.$

Комментарий/решение

Решение: $$x_i+\frac{k}{x_{i+1}}=x_{i+1}+\frac{k}{x_{i+2}}\Leftrightarrow k(x_{i+2}-x_{i+1})=x_{i+1}x_{i+2}(x_{i+1}-x_{i})$$ Если $x_i=x_{i+1}$, то $x_{i+1}=x_{i+2}$, откуда все числа равны. Значит $x_i\neq x_{i+1}$. Перемножим полученное равенство для всех $1\le i\le n$, получим $k^n=(x_1x_2...x_n)^2$. Поскольку $k^n$ целое, то оно является квадратом целого. Так как $n$ нечётное, то $k$ квадрат целого. Поэтому $k\ge4$. Пример для $k=4$: $x_{3i+1}=2,x_{3i+2}=-1,x_{3i}=-4$ и $n$ делящееcя на 3.

Ответ: 4.