20-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровРодос, Греция, 2018 год

Найдите наименьшее натуральное число $k > 1$ такое, что существуют такие ненулевые рациональные числа $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ($n$ --- нечетное число большее 2018), среди которых есть два неравных, и выполнено равенство $x_1+\frac{k}{x_2}=x_2+\frac{k}{x_3}=\ldots=x_{n-1}+\frac{k}{x_n}=x_n+\frac{k}{x_1}.$

Комментарий/решение

Решение:$$x_i+\frac{k}{x_{i+1}}=x_{i+1}+\frac{k}{x_{i+2}}\Leftrightarrow k(x_{i+2}-x_{i+1})=x_{i+1}x_{i+2}(x_{i+1}-x_{i})$$Если $x_i=x_{i+1}$, то $x_{i+1}=x_{i+2}$, откуда все числа равны. Значит $x_i\neq x_{i+1}$. Перемножим полученное равенство для всех $1\le i\le n$, получим $k^n=(x_1x_2...x_n)^2$. Поскольку $k^n$ целое, то оно является квадратом целого. Так как $n$ нечётное, то $k$ квадрат целого. Поэтому $k\ge4$. Пример для $k=4$: $x_{3i+1}=2,x_{3i+2}=-1,x_{3i}=-4$ и $n$ делящееcя на 3.

Ответ: 4.