20-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Родос, Греция, 2018 год
Комментарий/решение:
Правая часть делится на n, значит, левая тоже, тогда m5⋮n.
Правая часть делится на m, значит, левая тоже, тогда n5⋮m.
Пусть (m,n)=k, тогда m=m1k;n=n1k;(m1;n1)=1, тогда
m51k5⋮n1k⇒k4⋮n1
n51k5⋮m1k⇒k4⋮m1
Рассмотрим случаи:
1) m1;n1 - степени k, но этого не может быть, так как взаимно просты;
2) m1 или n1 равны 1, тогда исходное равнение не имеет решений;
3) m1=n1=1
Значит, |m|=|n|.
Рассмотрев два случая, получим (0;0);(−2;2).
Правая часть делится на n, значит, левая тоже, тогда m^5 \,\vdots\, n \,(@sea).Отсюда lcm(m,n) \neq 1
Пусть m=\frac{k}{l} \cdot n, где k=\frac{m}{lcm(m.n)}, l=\frac{n}{lcm(m,n)}, lcm(k,l)=1
\frac{m^5-n^5}{mn} = 16.
Используя уравнения выше, получим следующее:
n^3(\frac{k^4}{l^4} - \frac{l}{k}) = 16
Число \frac{k^4}{l^4} - \frac{l}{k} должно быть целым, то есть дробные части данных чисел должны самоуничтожаться. Если выделить целую часть обоих чисел и оставить несократимые дроби, то они должны быть равны, однако учитвая, что lcm(k,l) = 1, это невозможно, только если |k|=|l|\neq1. Исходя из этого,|k|=|l|=1.
Подставив k и l под m=\frac{k}{l} \cdot n, получим, что |m|=|n|
Рассмотрев четыре* случая, получим (0;\,0);\,(-2;\,2). @sea
Вот нормальное решение(лол, скидываю только через 2 года после обсуждение), @Ever был на правильном пути но не добил:
Ответ:(0,0),(-2,2)
Если одно из чисел m,n равно 0, тогда второе тоже. Далее будем считать что они не равны 0. Обозначим d=(m,n),m=dx,n=dy. Тогда 1=(x,y) и уравнения:
d^3(x^5-y^5)=16xy, так как (x,x^5-y^5)=(y,x^5-y^5)=1, значит 16 делится на x^5-y^5. a^5 при делении на 11 дают остатки -1,0,1. Значит x^5-y^5 при делении на 11 дают остатки -2,-1,0,1,2. А соответствующие делители числа 16: -2,-1,1,2. Методом перебора и уравнение Диофана можно легко найти что x=1,y=-1, значит m=-2,n=2.
ясно что если m=n то обязаельно m=n=0 тогда пусть m\ne n тогда обязательно m,n не взаимнопросты если они оба \ne 1 тогда m=dx,n=dy так чтобы x,y были взаимнопросты тогда ,d^5x^5-d^5y^5=16d^2xy \Rightarrowd^3x^5-d^3y^5=16xy\Rightarrowd^3(x^5-y^5)=16xy заметим что если оба положительные то x^5-y^5 не делится на xy разберем случай где оба положительные тогда тогда d^3=xy x^5-y^5=16 тогда x,y нечетные x^5=16+y^5,\Rightarrowx,y>1x>y \Rightarrow , x\geq y+2 \geq 5 ,x^5\geq (y+2)^5 >y^5+2^5>y^5+2^4 поэтому при положительных решений нету пусть одно из них =0 тогда второе тоже пусть теперь оба отрицательные но тогда уравнение переходит в вид n^5-m^5=16mn выше написаное противоречие тогда есть вариант где одно из них отриц пусть это n тогда m^5+n^5=-16mn что невозможно тогда m отрицательное уранвение переходит в вид -m^5-n^5=-16mnумножим обе части на -1 тогда m^5+n^5=16mn теперь все числа натуральные тогда пусть m\ne n ,m,n одинаковой четности факт пусть нечетные тогда m,n>1,пустьn\geq 3 m\geq{n+2},m^5+n^5>3^3m^2+3^3n^2>16mn то тогда разберем где они четные пусть m,n\geq 2,m\ne n m\geq n+2 m^5+n^5> 4^3m^2+2^3n^2>16mn так что разберем вариант где m=n тогда 2m^5=16m^2\Rightarrow8=m^3\Rightarrowm=n=2 но т.к. изначально m отрицательный то ответы m=n=0;m=-2,n=2
Факт который не записал если одно из них n=1 то решений нету т.к. m^5-1=16m то m^5 нечетный ,m>3 то тогда m^5>3^4m>1+3^3m>1+16m если m=1 то 1-n^5=16mn если n отриц то правое отриц а левое положит если n положит то наоборот и вариант где оба =1 неправильный поэтому нету решений при каком то из них =1
В моем решение есть ошибка там может быть d^3=xy,2xy,4xy,8xy,16xy но все эти варианты похожи кроме x^5-y^5=1 логично что ответы x=1,y=0 но тогда m=n=0
Нод(m,n)=d
m=da (a,b)=1
n=db
d^3a^5-d^3b^5=16ab
Так как a,b взаимно простые значит
d^3:a,b d^3=abk
abka^5-abkb^5=16ab
k(a^5-b^5)=16
a^5-b^5 должно делится на 16.
Если |a^5-b^5| \leq 2 тогда не сложно найти что (m,n)=(-2,2)
А если не так тогда:
|a^5-b^5| \geq |(x^5+1)-x^5| \geq 31 что не возможно.Значит:
(m,n)=(0,0)(-2,2)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.