Processing math: 19%

20-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Родос, Греция, 2018 год


Решите уравнение m5n5=16mn в целых числах.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
5 года 10 месяца назад #

net reshenii

  3
5 года 10 месяца назад #

Нет, ты ошибаешься. Решение есть. Например: m=n=0.

  1
5 года 10 месяца назад #

м=н=0 и все да ты прав.

  0
5 года 10 месяца назад #

Нет, еще есть m=2,n=2.

Только два решения.

пред. Правка 2   -1
5 года 10 месяца назад #

Правая часть делится на n, значит, левая тоже, тогда m5n.

Правая часть делится на m, значит, левая тоже, тогда n5m.

Пусть (m,n)=k, тогда m=m1k;n=n1k;(m1;n1)=1, тогда

m51k5n1kk4n1

n51k5m1kk4m1

Рассмотрим случаи:

1) m1;n1 - степени k, но этого не может быть, так как взаимно просты;

2) m1 или n1 равны 1, тогда исходное равнение не имеет решений;

3) m1=n1=1

Значит, |m|=|n|.

Рассмотрев два случая, получим (0;0);(2;2).

  5
5 года 10 месяца назад #

Не факт, что если m5 делится на n и n5 делится на m, то |m|=|n|. Контрпример: m=4,n=2.

  4
5 года 10 месяца назад #

Это не все случаи. Ещё есть несколько случай. Например:

m1n1=k, где m1 и n1 не равны 1.

  0
5 года 10 месяца назад #

Правая часть делится на n, значит, левая тоже, тогда m^5 \,\vdots\, n \,(@sea).Отсюда lcm(m,n) \neq 1

Пусть m=\frac{k}{l} \cdot n, где k=\frac{m}{lcm(m.n)}, l=\frac{n}{lcm(m,n)}, lcm(k,l)=1

\frac{m^5-n^5}{mn} = 16.

Используя уравнения выше, получим следующее:

n^3(\frac{k^4}{l^4} - \frac{l}{k}) = 16

Число \frac{k^4}{l^4} - \frac{l}{k} должно быть целым, то есть дробные части данных чисел должны самоуничтожаться. Если выделить целую часть обоих чисел и оставить несократимые дроби, то они должны быть равны, однако учитвая, что lcm(k,l) = 1, это невозможно, только если |k|=|l|\neq1. Исходя из этого,|k|=|l|=1.

Подставив k и l под m=\frac{k}{l} \cdot n, получим, что |m|=|n|

Рассмотрев четыре* случая, получим (0;\,0);\,(-2;\,2). @sea

  2
5 года 10 месяца назад #

Не обязательно то что \dfrac{k^4}{l^4}-\dfrac{l}{k} должно быть целым. Это равносильно тому что k^5-l^5 должно делится на l^4k. Но n^3 может делится на l^4k.

  0
5 года 10 месяца назад #

Но это также невозможно, поскольку поделив m на lcm(m,n), мы извлекли всевозможные общие простые делители чисел n и k, поэтому lcm(n,k)=1. Это также приводит к случаю ранее, не так ли?

  3
3 года 10 месяца назад #

Вот нормальное решение(лол, скидываю только через 2 года после обсуждение), @Ever был на правильном пути но не добил:

Ответ:(0,0),(-2,2)

Если одно из чисел m,n равно 0, тогда второе тоже. Далее будем считать что они не равны 0. Обозначим d=(m,n),m=dx,n=dy. Тогда 1=(x,y) и уравнения:

d^3(x^5-y^5)=16xy, так как (x,x^5-y^5)=(y,x^5-y^5)=1, значит 16 делится на x^5-y^5. a^5 при делении на 11 дают остатки -1,0,1. Значит x^5-y^5 при делении на 11 дают остатки -2,-1,0,1,2. А соответствующие делители числа 16: -2,-1,1,2. Методом перебора и уравнение Диофана можно легко найти что x=1,y=-1, значит m=-2,n=2.

  5
2 года 1 месяца назад #

ясно что если m=n то обязаельно m=n=0 тогда пусть m\ne n тогда обязательно m,n не взаимнопросты если они оба \ne 1 тогда m=dx,n=dy так чтобы x,y были взаимнопросты тогда ,d^5x^5-d^5y^5=16d^2xy \Rightarrowd^3x^5-d^3y^5=16xy\Rightarrowd^3(x^5-y^5)=16xy заметим что если оба положительные то x^5-y^5 не делится на xy разберем случай где оба положительные тогда тогда d^3=xy x^5-y^5=16 тогда x,y нечетные x^5=16+y^5,\Rightarrowx,y>1x>y \Rightarrow , x\geq y+2 \geq 5 ,x^5\geq (y+2)^5 >y^5+2^5>y^5+2^4 поэтому при положительных решений нету пусть одно из них =0 тогда второе тоже пусть теперь оба отрицательные но тогда уравнение переходит в вид n^5-m^5=16mn выше написаное противоречие тогда есть вариант где одно из них отриц пусть это n тогда m^5+n^5=-16mn что невозможно тогда m отрицательное уранвение переходит в вид -m^5-n^5=-16mnумножим обе части на -1 тогда m^5+n^5=16mn теперь все числа натуральные тогда пусть m\ne n ,m,n одинаковой четности факт пусть нечетные тогда m,n>1,пустьn\geq 3 m\geq{n+2},m^5+n^5>3^3m^2+3^3n^2>16mn то тогда разберем где они четные пусть m,n\geq 2,m\ne n m\geq n+2 m^5+n^5> 4^3m^2+2^3n^2>16mn так что разберем вариант где m=n тогда 2m^5=16m^2\Rightarrow8=m^3\Rightarrowm=n=2 но т.к. изначально m отрицательный то ответы m=n=0;m=-2,n=2

Факт который не записал если одно из них n=1 то решений нету т.к. m^5-1=16m то m^5 нечетный ,m>3 то тогда m^5>3^4m>1+3^3m>1+16m если m=1 то 1-n^5=16mn если n отриц то правое отриц а левое положит если n положит то наоборот и вариант где оба =1 неправильный поэтому нету решений при каком то из них =1

  6
2 года 1 месяца назад #

В моем решение есть ошибка там может быть d^3=xy,2xy,4xy,8xy,16xy но все эти варианты похожи кроме x^5-y^5=1 логично что ответы x=1,y=0 но тогда m=n=0

пред. Правка 3   8
1 года 8 месяца назад #

Нод(m,n)=d

m=da (a,b)=1

n=db

d^3a^5-d^3b^5=16ab

Так как a,b взаимно простые значит

d^3:a,b d^3=abk

abka^5-abkb^5=16ab

k(a^5-b^5)=16

a^5-b^5 должно делится на 16.

Если |a^5-b^5| \leq 2 тогда не сложно найти что (m,n)=(-2,2)

А если не так тогда:

|a^5-b^5| \geq |(x^5+1)-x^5| \geq 31 что не возможно.Значит:

(m,n)=(0,0)(-2,2)