Математикадан жасөспірімдер арасындағы 20-шы Балкан олимпиадасыРодос, Греция, 2018 жыл

$ABC$ үшбұрышы берілсін. $A'$, $B'$, $C'$ нүктелері қарама-қарсы қабырғаларға қатысты төбелерге симметриялы. $ ABB'$ және $ACC'$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $A_1$ нүктесінде қиылыссын. Дәл сол сияқты $B_1$ және $C_1$ нүктелерін анықтайық. $AA_1$, $BB_1$ және $CC_1$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$\angle ABC=\angle B$ и т.д отметим что точка $A_{1}$ лежит на пересечений $C’B \cap B’C$ так как из того что $BAB’A_{1} $ вписанный и учитывая симметрию, то $\angle A_{1}BC = 180^{\circ}-2\angle B$ и $\angle A_{1}CB = 180-2\angle C$ что верно так как $\angle BA_{1}C = 180^{\circ}-2\angle A$ учитывая ту же симметрию $AB=AB’$ откуда $AA_{1}$ биссектриса $\angle BA_{1}C$, так же и с другими.

Пусть $E,D,F$ определены как $BC \cap AA_{1} , AB \cap CC_{1} , AC \cap BB_{1}$ соотвественно, по теореме Чевы надо доказать что $N=\frac{BD}{AD} \cdot \frac{AF}{CF} \cdot \frac{ CE}{BE} = 1$ с другой стороны так как $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$ биссектрисы, то

$N=\frac{C_{1}B}{C_{1}A} \cdot \frac{AB_{1}}{CB_{1}} \cdot \frac{CA_{1}}{BA_{1}} = \frac{\sin2\angle A}{\sin2\angle B} \cdot \frac{\sin2\angle C}{ \sin2\angle A} \cdot \frac{\sin2\angle B}{ \sin2\angle C} = 1$

Инверсия+симметрия $\sqrt bc$ $B’=>C’, B=>C =>> B’B \cap C’C=H =>> AH$ и $AA_1$ изогональны $AA_1$ проходит через $O$