Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 11 класс

Задача №1. Сумма длин боковых сторон вписанной трапеции равна

$4\sqrt{10}$ , ее высота равна 6, а площадь равна 72. Найдите радиус описанной окружности.
комментарий/решение(3)

Задача №2. Операция

$*$ обладает свойствами

$x*0=0$ и

$x*(y+1)=x*y+(x-y)$ . Вычислите

$100*10$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Решите уравнение

$10^x+11^x+12^x=13^x+14^x$ в вещественных числах.
комментарий/решение(2)

Задача №4. Сколько шестизначных натуральных чисел, кратных 3, десятичная запись которых содержит только цифры 0, 1, 2?
комментарий/решение(1)

Задача №5. Решите в неотрицательных целых числах уравнение

$2^a\cdot 3^b-3^{b+1}+2^a=13.$
комментарий/решение(2)

Задача №6. Длины сторон треугольника удовлетворяют соотношению

$\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} = \dfrac{3}{{a + b + c}}.$ Найдите средний по величине угол треугольника.
комментарий/решение(1)