Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 11 класс

Длины сторон треугольника удовлетворяют соотношению $\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} = \dfrac{3}{{a + b + c}}.$ Найдите средний по величине угол треугольника.

Комментарий/решение

Ответ : 60 градусов

Решение. Для начала преобразуем $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}=\dfrac{a+b+c+b}{(a+b)(b+c)}$. Теперь можно сделать замену $x=a+b+c$ . С учётом замены $\dfrac{x+b}{(x-c)(x-a)}=\dfrac{3}{x}$. Теперь умножим средние члены и крайние. Получим $3x^2-3ax-3cx+3ca=x^2+bx$ . Перенесем всё в одну сторону , затем преобразуем . $-2x^2+x(a+b+c)+2ax+2cx-3ca=0$ . С учетом замены получим $-x^2+2ax+2cx-3ca$ или $x^2-2xb-3ca$ . делаем обратную замену . Получим $a^2+c^2-ac=b^2$ . Вспомним теорему косинусов . $ac=2ac*cosA$ ,из чего и следует ответ