Математикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 11 сынып
Қабырғалары a,b,c болатын үшбұрыш үшін 1a+b+1b+c=3a+b+c теңдігі орындалады. Осы үшбұрыштың өлшемі бойынша ортаңғы бұрышты табыңыздар.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ : 60 градусов
Решение. Для начала преобразуем 1a+b+1b+c=a+b+c+b(a+b)(b+c). Теперь можно сделать замену x=a+b+c . С учётом замены x+b(x−c)(x−a)=3x. Теперь умножим средние члены и крайние. Получим 3x2−3ax−3cx+3ca=x2+bx . Перенесем всё в одну сторону , затем преобразуем . −2x2+x(a+b+c)+2ax+2cx−3ca=0 . С учетом замены получим −x2+2ax+2cx−3ca или x2−2xb−3ca . делаем обратную замену . Получим a2+c2−ac=b2 . Вспомним теорему косинусов . ac=2ac∗cosA ,из чего и следует ответ
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.