Математикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Шеңберге іштей сызылған трапецияның бүйір қабырғаларының қосындысы

4 \sqrt{10}

$4\sqrt{10}$ -ға тең, оның биіктігі 6-ға, ал ауданы 72-ге тең болса, трапецияға сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңыз.
комментарий/решение(3)

Есеп №2.

*

$*$ опрациясы келесі қасиетке ие:

x * 0 = 0

$x*0=0$ және

x * (y + 1) = x * y + (x - y)

$x*(y+1)=x*y+(x-y)$ .

100 * 10

$100*10$ өрнегі неге тең?
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

10^{x} + 11^{x} + 12^{x} = 13^{x} + 14^{x}

$10^x+11^x+12^x=13^x+14^x$ теңдеуінің нақты шешімін табыңыздар.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Ондық жазбасы тек 0, 1 және 2 цифрларынан құралған, 3-ке қалдықсыз бөлінетін қанша алтытаңбалы сан бар?
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

2^{a} \cdot 3^{b} - 3^{b + 1} + 2^{a} = 13

${{2}^{a}}\cdot {{3}^{b}}-{{3}^{b+1}}+{{2}^{a}}=13$ теңдеуінің теріс емес бүтін шешімдерін табыңыздар.
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Қабырғалары

a, b, c

$a,b,c$ болатын үшбұрыш үшін

\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} = \frac{3}{a + b + c}

$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}=\dfrac{3}{a+b+c}$ теңдігі орындалады. Осы үшбұрыштың өлшемі бойынша ортаңғы бұрышты табыңыздар.
комментарий/решение(1)