Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Имеется 11 шаров – 5 красных и 6 белых. Известно, что один красный шар и один белый шар радиоактивны. Про любую группу шаров за одну проверку детектором можно узнать, есть ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Как с помощью не более чем 5 проверок выявить оба радиоактивных шара?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Найдите все многочлены P(x) и Q(x), удовлетворяющие при всех x∈R, равенствам P(Q(x))=x4−5x2+7 и Q(x−1)=x2−2x−1.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №3. Представьте, что перед вами висит на верёвочке прямоугольный параллелепипед со сторонами 10 см 10 см и 20 см (например, такой получится, если склеить два кубика со стороной 10 см). Посадим теперь на одну из вершин параллелепипеда божью коровку (см. рисунок). Будем считать, что она не хочет лететь, а хочет ползти по поверхности, причем во все стороны ползет с постоянной скоростью. Как божьей коровке быстрее всего добраться до противоположной вершины параллелепипеда и сколько сантиметров она при этом проползет?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Дан треугольник ABC. На стороне AB выбрана точка K, а на отрезке CK – точка L так, что AK=KL=12KB. Известно, что ∠CAB=45∘, ∠CKB=60∘. Доказать, что AL=BL=CL.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №5. Число A=√x2+x−6+√−x2−x+6|x−2|+(5+x)2017 является целым числом. Найдите последние две цифры числа A.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №6. Сколькими способами можно представить число 2017 в виде суммы нескольких слагаемых (больше одного), расположенных в неубывающем порядке, причём разность между последним и первым слагаемыми не должна превышать 1.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)