Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Имеется 11 шаров – 5 красных и 6 белых. Известно, что один красный шар и один белый шар радиоактивны. Про любую группу шаров за одну проверку детектором можно узнать, есть ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Как с помощью не более чем 5 проверок выявить оба радиоактивных шара?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Найдите все многочлены

$P(x)$ и

$Q(x)$ , удовлетворяющие при всех

$x\in \mathbb{R}$ , равенствам

$P(Q(x))={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+7$ и

$Q\left( x-1 \right)={{x}^{2}}-2x-1.$
комментарий/решение(4)

Задача №3. Представьте, что перед вами висит на верёвочке прямоугольный параллелепипед со сторонами 10 см 10 см и 20 см (например, такой получится, если склеить два кубика со стороной 10 см). Посадим теперь на одну из вершин параллелепипеда божью коровку (см. рисунок). Будем считать, что она не хочет лететь, а хочет ползти по поверхности, причем во все стороны ползет с постоянной скоростью. Как божьей коровке быстрее всего добраться до противоположной вершины параллелепипеда и сколько сантиметров она при этом проползет?

комментарий/решение(2)

Задача №4. Дан треугольник

$ABC$ . На стороне

$AB$ выбрана точка

$K$ , а на отрезке

$CK$ – точка

$L$ так, что

$AK=KL=\frac{1}{2}KB.$ Известно, что

$\angle CAB=45{}^\circ ,$

$\angle CKB=60{}^\circ .$ Доказать, что

$AL=BL=CL.$
комментарий/решение(4)

Задача №5. Число

$A=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+x-6}+\sqrt{-{{x}^{2}}-x+6}}{|x-2|}+{{\left( 5+x \right)}^{2017}}$ является целым числом. Найдите последние две цифры числа

$A$ .
комментарий/решение(3)

Задача №6. Сколькими способами можно представить число 2017 в виде суммы нескольких слагаемых (больше одного), расположенных в неубывающем порядке, причём разность между последним и первым слагаемыми не должна превышать 1.
комментарий/решение(5)