Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 9 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  Имеется 11 шаров – 5 красных и 6 белых. Известно, что один красный шар и один белый шар радиоактивны. Про любую группу шаров за одну проверку детектором можно узнать, есть ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Как с помощью не более чем 5 проверок выявить оба радиоактивных шара?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все многочлены P(x) и Q(x), удовлетворяющие при всех xR, равенствам P(Q(x))=x45x2+7 и Q(x1)=x22x1.
комментарий/решение(4)
Задача №3.  Представьте, что перед вами висит на верёвочке прямоугольный параллелепипед со сторонами 10 см 10 см и 20 см (например, такой получится, если склеить два кубика со стороной 10 см). Посадим теперь на одну из вершин параллелепипеда божью коровку (см. рисунок). Будем считать, что она не хочет лететь, а хочет ползти по поверхности, причем во все стороны ползет с постоянной скоростью. Как божьей коровке быстрее всего добраться до противоположной вершины параллелепипеда и сколько сантиметров она при этом проползет?


комментарий/решение(2)
Задача №4.  Дан треугольник ABC. На стороне AB выбрана точка K, а на отрезке CK – точка L так, что AK=KL=12KB. Известно, что CAB=45, CKB=60. Доказать, что AL=BL=CL.
комментарий/решение(4)
Задача №5.  Число A=x2+x6+x2x+6|x2|+(5+x)2017 является целым числом. Найдите последние две цифры числа A.
комментарий/решение(3)
Задача №6.  Сколькими способами можно представить число 2017 в виде суммы нескольких слагаемых (больше одного), расположенных в неубывающем порядке, причём разность между последним и первым слагаемыми не должна превышать 1.
комментарий/решение(5)