Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 9 класс

Число $A=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+x-6}+\sqrt{-{{x}^{2}}-x+6}}{|x-2|}+{{\left( 5+x \right)}^{2017}}$ является целым числом. Найдите последние две цифры числа $A$.

Комментарий/решение

Если разложить $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$ , то вторая $-(x-3)(x-2)$ , учитывая что выражения под корнем и знаменатель , получаем что сумма выражений имеет смысл при $x+3=-x-3$ , $x=-3$ , значит $A=2^{2017}$ найдем остаток при делений числа на 100.

$2^{2017} = 16^{504} \cdot 2$ заметим что при $1 \leq n \leq 5$ у числа $16^{n}$ при делений на 100 остатки повторяются $16,56,96,36,76$ доказать можно так, возьмем последнее число с остатком 76 это $16^5 \cdot 16 \equiv (70+6)(10+6) \equiv 116 \equiv 16 \ \ mod \ 100$. Значит $16^{504}=16^{5 \cdot 100+4} \equiv 36 \ mod \ 100$ откуда $2^{2017} \equiv 36 \cdot 2 =72 \ mod \ 100$ , следовательно де последние цифры числа равны $72$.

Две последние цифры числа есть остаток от деления числа на $100$

$2^{10}=1024 \equiv -1\pmod{25}$

$(2^{10})^{201} \equiv -1\pmod{25}$

$2^{2010} \equiv -1\pmod{25}$

$2^{2010}\cdot4 \equiv -1\cdot4 \pmod{25\cdot4 }$

$2^{2012} \equiv -4\pmod{100}$

$2^{2017} = 2^{2012}\cdot 2^{5}\equiv -4\cdot32 \pmod{100}$

$2^{2017} \equiv 72\pmod{100}$

Значит, последние две цифры $72$.

$$A=\frac{\sqrt{x^2+x-6}+\sqrt{-x^2-x+6}}{|x-2|}+(5+x)^{2017}$$

$$D(A)\equiv \left\{ \begin{gathered} x^2+x-6 \geq 0\\ -x^2-x+6 \geq 0\\ |x-2| \ne 0 \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x^2+x-6=0 \\ x\ne 2 \\ \end{gathered}\right. \Rightarrow x=-3$$

$$\Rightarrow A=2^{2017}$$

$$2^n= \left\{ \begin{gathered} ...2, n=4k+1\\ ....4, n=4k+2 \\ ....8, n=4k+3 \\ .....6, n=4k+4 \end{gathered} \right.$$

$$n=4k+1=2017\Rightarrow k=504$$

$$2^{2017}=2^{2016} \cdot 2= (16)^{504} \cdot 2=(256)^{252} \cdot 2= .....36\cdot 2= ....72$$

$OTBET:72$