Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 9 класс
Комментарий/решение:
Обозначим параллелепипед как
$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ слева направо где $A ,C_{1}$ - начальная и противоположенная вершины.
Пусть точка M лежит на ребре $BB_{1}$ , пусть $MB=x, \ \ MB_{1}=20-x$. Тогда требуется минимизировать величину $S=AM+MC_{1}=\sqrt{10^2+x^2}+\sqrt{10^2+(20-x)^2}$ воспользуется неравенством между средне квадратичным и средним арифметическим, тогда имеем
$S \geq \sqrt{2} \cdot (\frac{10+x+20-x+10}{2}) = 20 \sqrt {2} $ , равенство достигается при $x=10$.
Аналогичными рассуждениями , можно положить что $M$ лежит на ребре $A_{1}B$ и найти $AM+MC_{1}=10 \sqrt{10}$ см, которая больше предыдущего ответа.
То есть божье коровке предстоит дойти до середины соседнего ребра $BB_{1}$ и затем дойти до точки $C_{1}$ , при этом божья коровка пройдёт $20 \sqrt{2}$ см.
Если развернуть этот параллелепипед, так что бы получился путь по гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами равными 20см. Тогда расстояние: $20\sqrt{2}$. А если развернуть так что бы путь был вверх и по диагонале, то путь будет равен $20+10\sqrt{2}$. Отсюда следует что первый путь короче. Значит божьей коровке надо пройти до соседнего бокового ребра на высоту равной 10см и еще раз повторить такой же ход. Ответ: $20\sqrt{2}$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.