Математикадан аудандық олимпиада, 2017-2018 оқу жылы, 9 сынып

Алдыңызда қабырғалары 10 см, 10 см және 20 см болатын тік бұрышты параллелепипед тұр дейік (мұндай жағдай, мысалы, қабырғасы 10 см екі кубикты қосқанда пайда болады). Параллелепипедтің бір төбесіне қаңқызды (қызыл қоңыз) отырғызайық. Ол ұшқысы келмей, параллелепипедтің бетімен жүреді және барлық жаққа бірдей жылдамдықпен қозғалады деп есептейік. Қанқызға, параллелепипедтің қарсы төбесіне дейін қалайша тез баруына болады және ол, осы жолмен, неше сантиметр жүреді?

Комментарий/решение

Обозначим параллелепипед как

$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ слева направо где $A ,C_{1}$ - начальная и противоположенная вершины.

Пусть точка M лежит на ребре $BB_{1}$ , пусть $MB=x, \ \ MB_{1}=20-x$. Тогда требуется минимизировать величину $S=AM+MC_{1}=\sqrt{10^2+x^2}+\sqrt{10^2+(20-x)^2}$ воспользуется неравенством между средне квадратичным и средним арифметическим, тогда имеем

$S \geq \sqrt{2} \cdot (\frac{10+x+20-x+10}{2}) = 20 \sqrt {2} $ , равенство достигается при $x=10$.

Аналогичными рассуждениями , можно положить что $M$ лежит на ребре $A_{1}B$ и найти $AM+MC_{1}=10 \sqrt{10}$ см, которая больше предыдущего ответа.

То есть божье коровке предстоит дойти до середины соседнего ребра $BB_{1}$ и затем дойти до точки $C_{1}$ , при этом божья коровка пройдёт $20 \sqrt{2}$ см.

Если развернуть этот параллелепипед, так что бы получился путь по гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами равными 20см. Тогда расстояние: $20\sqrt{2}$. А если развернуть так что бы путь был вверх и по диагонале, то путь будет равен $20+10\sqrt{2}$. Отсюда следует что первый путь короче. Значит божьей коровке надо пройти до соседнего бокового ребра на высоту равной 10см и еще раз повторить такой же ход. Ответ: $20\sqrt{2}$