Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 9 класс

Представьте, что перед вами висит на верёвочке прямоугольный параллелепипед со сторонами 10 см 10 см и 20 см (например, такой получится, если склеить два кубика со стороной 10 см). Посадим теперь на одну из вершин параллелепипеда божью коровку (см. рисунок). Будем считать, что она не хочет лететь, а хочет ползти по поверхности, причем во все стороны ползет с постоянной скоростью. Как божьей коровке быстрее всего добраться до противоположной вершины параллелепипеда и сколько сантиметров она при этом проползет?

Комментарий/решение

Обозначим параллелепипед как

$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ слева направо где $A ,C_{1}$ - начальная и противоположенная вершины.

Пусть точка M лежит на ребре $BB_{1}$ , пусть $MB=x, \ \ MB_{1}=20-x$. Тогда требуется минимизировать величину $S=AM+MC_{1}=\sqrt{10^2+x^2}+\sqrt{10^2+(20-x)^2}$ воспользуется неравенством между средне квадратичным и средним арифметическим, тогда имеем

$S \geq \sqrt{2} \cdot (\frac{10+x+20-x+10}{2}) = 20 \sqrt {2}$ , равенство достигается при $x=10$.

Аналогичными рассуждениями , можно положить что $M$ лежит на ребре $A_{1}B$ и найти $AM+MC_{1}=10 \sqrt{10}$ см, которая больше предыдущего ответа.

То есть божье коровке предстоит дойти до середины соседнего ребра $BB_{1}$ и затем дойти до точки $C_{1}$ , при этом божья коровка пройдёт $20 \sqrt{2}$ см.

Если развернуть этот параллелепипед, так что бы получился путь по гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами равными 20см. Тогда расстояние: $20\sqrt{2}$. А если развернуть так что бы путь был вверх и по диагонале, то путь будет равен $20+10\sqrt{2}$. Отсюда следует что первый путь короче. Значит божьей коровке надо пройти до соседнего бокового ребра на высоту равной 10см и еще раз повторить такой же ход. Ответ: $20\sqrt{2}$