Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 9 класс

Дан треугольник $ABC$. На стороне $AB$ выбрана точка $K$, а на отрезке $CK$ – точка $L$ так, что $AK=KL=\frac{1}{2}KB.$ Известно, что $\angle CAB=45{}^\circ ,$ $\angle CKB=60{}^\circ .$ Доказать, что $AL=BL=CL.$

Комментарий/решение

Скорее всего в задаче опечатка и имелось в виду что $AK=KL=\frac{KB}{2}$ так как при этих условиях , утверждение справедливо, если это действительно так , то найдем угол $\angle ACK = 180^{\circ} - (45^{\circ}+120^{\circ}) = 15^{\circ}$ но так как $AK=KL$ То $\angle KAL = 30^{\circ}$ исходя из условия, откуда $\angle CAL = 45^{\circ} - 30^{\circ} = 15^{\circ}$ , откуда $AL=CL$ как равнобедренный треугольник $ALC$ , если $N$ середина отрезка $BK$ ,то $KNL$ правильный треугольник , откуда $\Delta LNB = \Delta AKL$ , значит $AL=BL=CL$.

https://photos.app.goo.gl/2LSrmjucNV34tpG59

$Допустим \: AK=2x, \: BK=x, \: \angle BKC=60 \rightarrow \angle AKC=120; \: \angle ALK= \angle KAL=30, \rightarrow LAC = 15 \: (т.к. \: в \: условии \: дано \: то \: что \: \angle KAC=45) \: \angle ALC=150 \rightarrow \angle LCA = 15, \: AL=CL. \: BL^2=(2x)^2+x^2- 2x * x * cos 60= 4x^2, \: BL=2x, \: и \: отсюда \: выходит \: противоречие \: потому \: что \: нас \: просят \: доказать \: то \: что \: AL=BL=CL \: а \: это \: не \: возможно \: т.к. \: AL^2=CL^2=(2x)^2+(2x)^2-2x*2x*cos 120 = 10x^2, AL=CL=x√10 \neq 2x; BL.$