Геометриядан Иран олимпиадасы, 2017 жыл, 3-ші лига (11-12 сыныптар)

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышына центрі

$I$ болатын іштей сызылған шеңбер

$BC$ қабырғасын

$D$ нүктесінде жанайды.

$DI$ түзуі

$AC$ түзуін

$X$ нүктесінде қияды.

$X$ нүктесінен іштей сызылған шеңберге жүргізілген жанама (

$AC$ -дан өзге)

$AB$ -ны

$Y$ нүктесінде қисын. Егер

$YI$ және

$BC$ түзулері

$Z$ нүктесінде қиылысса,

$AB=BZ$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Жазықтықта алты шеңбер берілген, олардың ешқандай екеуі өзара қиылыспайды және әр шеңбердің радиусы 1-ден кем емес. Барлық алты шеңберді қиятын кез келген шеңбердің радиусы 1-ден кем емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$O$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі.

$CO$ түзуі үшбұрыштың

$A$ төбесінен түсірілген биіктікті

$K$ нүктесінде қияды.

$P$ және

$M$ нүктелері сәйкесінше

$AK$ және

$AC$ кесінділерінің орталары. Егер

$PO$ түзуі

$BC$ -ны

$Y$ , ал

$BCM$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$AB$ -ны екінші рет

$X$ нүктесінде қиса,

$BXOY$ төртбұрышының шеңберге іштей сызылғанын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$\omega_1$ ,

$\omega_2$ және

$\omega_3$ шеңберлері

$l$ түзуін сәйкесінше

$A$ ,

$B$ және

$C$ нүктелерінде жанайды (

$B$ нүктесі

$A$ мен

$C$ нүктелерінің арасында жатыр), ал

$\omega_2$ шеңбері қалған екі шеңберді сырттай жанайды.

$X$ және

$Y$ нүктелері

$\omega_1$ және

$\omega_3$ шеңберлеріне

$l$ -ден өзгеше ортақ сырттай жанаманың

$\omega_2$ шеңберімен қиылысу нүктелері болсын.

$B$ -дан

$l$ -ге түсірілген перпендикуляр

$\omega_2$ -ні екінші рет

$Z$ нүктесінде қисын. Диаметрі

$AC$ болатын шеңбер

$ZX$ және

$ZY$ түзулерін жанайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$S$ сферасы жазықтықты жанайды. Ешбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын

$A$ ,

$B$ ,

$C$ және

$D$ нүктелері сол жазықтықта жатыр.

$S$ сферасы

$A'BCD$ тетраэдірінің жақтарын жанайтындай

$A'$ нүктесін қарастырайық. Дәл солай

$B'$ ,

$C'$ және

$D'$ нүктелері анықталсын.

$A'$ ,

$B'$ ,

$C'$ және

$D'$ нүктелерінің бір жазықтықта жататынын және

$(A'B'C'D')$ жазықтығының

$S$ -ті жанайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)