4-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2017 год, третья лига, 11-12 классы

Сфера $S$ касается плоскости. Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ — четыре точки этой плоскости такие, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Рассмотрим точку $A'$ такую, что $S$ касается граней тетраэдра $A'BCD$. Точки $B'$, $C'$, $D'$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ лежат в одной плоскости и плоскость $(A'B'C'D')$ касается $S$.

Комментарий/решение

Инвертируйте в точке контакта $S$ и плоскости $ABCD$, скажем $X$. Из равных касательных к каждой из точек $A,B,C,D$ в отдельности получаем, что $P$ лежит на сфере, связанной с каждой точкой (скажем, $S_a$). Фактически, поскольку сфера пересекается по окружности с другой сферой, точки лежат на окружности. Обозначим через $X_{LMN}$ образ точки касания грани $LMN$ с $S$. Точки $X_{ABC'} \equiv X_{ABD'}, X_{ACB'} \equiv X_{ACD'}, X_{ADB'} \equiv X_{ADC'}$ лежат на одной прямой. Таким образом, у нас есть 4 таких строки. Удалим из названия выделенные точки, так как они избыточны.

Окружность, проходящая через $X_{BC}, X_{BD}, X_{CD}$, есть образ окружности, пересекаемой $S$ касательным конусом от $A'$ к $S$. Рассмотрим точку Микеля четырех упомянутых линий. Образ этой точки находится на сфере, а прямая $A'P$ касается сферы $S$. По симметрии прямые $B'P, C'P, D'P$ также касаются $S$, поэтому мы получаем вывод из того, что все касательные в точке сферы лежат на плоскости.