4-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2017 год, третья лига, 11-12 классы

Даны шесть попарно непересекающихся окружностей, радиус каждой из которых не меньше 1. Докажите, что радиус любой окружности, пересекающей все шесть данных, также не меньше 1.

Комментарий/решение

Пусть это не так. $Но по условию, нужно доказать обратное,$ что значит, что это так. $$Противоречие.$$

Пусть центры этих шести окружностей $O_1;O_2;…;O_6$, а радиусы $R_1; R_2;…; R_6$ соответственно, и окружность с центром $O$, и радиусом $R$ пересекает все шесть окружностей. Пусть не найдется $a; b$ такие, что $\angle O_aOO_b\le 60$. Тогда $\angle O_1OO_2+O_2OO_3+…+O_6OO_1>60+60+…+60=360 \Rightarrow \varnothing.$

Мы знаем что $O_aO_b\ge R_a+R_b$; $OO_a\ge R+R_a$; и $OO_b\ge R+R_b$. Если $R<1$, то $R+R_a<R_b+R_a, R+R_b<R_a+R_b$, значить $O_aO_b$ самый длиинный сторона в треугольник $\triangle O_aOO_b$ откуда $\angle O_aOO_b>60 \Rightarrow \varnothing$

Ответ: Глоин рыцарь

Так как гном который находится на правом краю шеренги рыцарь( но этот гном не Глоин) , значит слева еще как минимум есть один рыцарь, и так далее , все гномы которые стоят до левого края не могут быть Глоином ,потому что у Глоина гномы только справа есть. А так как все гномы до него рыцари, значит и он тоже рыцарь.