4-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2017 год, третья лига, 11-12 классы

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Прямая $CO$ пересекает высоту, проведенную из вершины $A$, в точке $K$. Пусть $P$ и $M$ — середины отрезков $AK$ и $AC$ соответственно. Пусть прямые $PO$ и $BC$ пересекаются в точке $Y$, а описанная окружность треугольника $BCM$ вторично пересекает прямую $AB$ в точке $X$. Докажите, что четырехугольник $BXOY$ вписанный.

Комментарий/решение

Докажем что $XPO, \ AXM$ подобны это докажет что $\angle XOP = \angle ABC$ ($BXOY$ вписанный), для этого докажем что $AXP,XOM$ подобны так как $\angle OMX = 90-\angle AMX = 90 - \angle ABC = \angle XAP$ то есть надо доказать что $\dfrac{AX}{AP}=\dfrac{2AX}{AK}=\dfrac{MX}{MO}$ выражая $AK=\dfrac{ACcos(\angle B)}{sin(\angle B+\angle C)}, \ AX=\dfrac{ACsin(\angle B)}{2sin( \angle C)}, \ XM=\dfrac{ACsin(\angle A)}{2sin(\angle C)} , \ MO=\dfrac{ACcos(\angle B)}{2sin(\angle B)}$

Подставляя , откуда $sin(B+C)=sin(A)$ что верно.

Начнем с того что $\angle{CAK}=\angle{BAO}, \angle{ACB}=90-\angle{CAK}, \angle{MXA}=90-\angle{CAK}, \Rightarrow MX \perp AO$.

$\angle{OMT}=\angle{OAM}=\angle{ACO}=\angle{AMP}$, так как $MP \parallel CK$. Тоесть $P,T$ изогонально сопряженные точки в четырехугольнике $AMOX \Rightarrow \angle{AOM}=\angle{XOP} \Rightarrow \angle{XOY}+\angle{XBY}=180$ ч.т.д