Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №3. Рассмотрим параллелограмм ABCD.
а) Верно ли, что если центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на диагонали BD, то ABCD — ромб?
б) Верно ли, что если центр описанной окружности треугольника ABC лежит на диагонали BD, то ABCD — ромб?
комментарий/решение(1)
а) Верно ли, что если центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на диагонали BD, то ABCD — ромб?
б) Верно ли, что если центр описанной окружности треугольника ABC лежит на диагонали BD, то ABCD — ромб?
комментарий/решение(1)
Задача №4. Докажите, что если для целых x, y число x2+3xy+y2 делится на 25, то x и y делятся на 5.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Вчера на игровой площадке мальчиков было в полтора раза больше, чем девочек. Сегодня число мальчиков есть квадрат числа девочек, причем мальчиков стало на 6 человек, а девочек — на 7 человек меньше, чем вчера. Сколько детей на игровой площадке было вчера?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Докажите, что для всех натуральных n справедливо тождество 1⋅1!+2⋅2!+⋯+n⋅n!=(n+1)!−1. Здесь k!=1⋅2⋅⋯⋅k.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)