Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 9 класс

Докажите, что для всех натуральных $n$ справедливо тождество $1\cdot 1!+2\cdot 2!+\dots+n\cdot n!=(n+1)!-1.$ Здесь $k!=1\cdot 2\cdot\dots\cdot k$.

Комментарий/решение

$1\cdot 1!+2\cdot 2!+\dots+n\cdot n!=(n+1)!-1$ b_(1)_b

Проверим верно ли выражение b_(1)_b при $n=1$:

$1\cdot 1! = (1+1)!-1$.

$1=1$.

Пусть выражение b_(1)_b верно при $n=k$:

$1\cdot 1!+2\cdot 2!+\dots+k\cdot k!=(k+1)!-1$ b_(2)_b

Проверим верно ли выражение b_(1)_b при $n=k+1$:

$1\cdot 1!+2\cdot 2!+\dots+k\cdot k!+(k+1)\cdot (k+1)!=(k+2)!-1$

Используя выражение b_(2)_b, получим:

$(k+1)!-1+(k+1)\cdot (k+1)!=(k+2)!-1$

$(k+1)!\cdot(1+k+1)-1=(k+2)!-1$

$(k+1)!\cdot(k+2)-1=(k+2)!-1$

$(k+2)!-1=(k+2)!-1$

Значит, выражение b_(1)_b верно для всех натуральных $n$.

Келесідей жазамыз:

$(1!+1\cdot 1!)+2\cdot 2!+3\cdot 3!+...+n\cdot n!.$

$1!+1\cdot1!=1!(1+1)=2!.$

$2!+2\cdot2!=2!(1+2)=3!.$ $(1!+1\cdot 1!)+2\cdot 2!+3\cdot 3!+...+n\cdot n!=(2!+2\cdot 2!)+3\cdot 3!+...+n\cdot n!=4!+...+n\cdot n!=(n!+n\cdot n!)=(n+1)!.$

Онда $1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+...+n\cdot n!=(n+1)!-1.$