қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 9 класс
Задача №1. Сравните числа $A = \frac{1}{{99}}\left( {1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{{99}}} \right)$ и
$B = \frac{1}{{100}}\left( {1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{{100}}} \right)$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Сколько девяток в десятичной записи числа $\underbrace {999\ldots 9^3}_{100 - \text{ раз}}$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$.
а) Верно ли, что если центр вписанной окружности треугольника $ABC$ лежит на диагонали $BD$, то $ABCD$ — ромб?
б) Верно ли, что если центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на диагонали $BD$, то $ABCD$ — ромб?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Докажите, что если для целых $x$, $y$ число $x^2+3xy+y^2$ делится на 25, то $x$ и $y$ делятся на 5.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Вчера на игровой площадке мальчиков было в полтора раза больше, чем девочек. Сегодня число мальчиков есть квадрат числа девочек, причем мальчиков стало на 6 человек, а девочек — на 7 человек меньше, чем вчера. Сколько детей на игровой площадке было вчера?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Докажите, что для всех натуральных $n$ справедливо тождество $1\cdot 1!+2\cdot 2!+\dots+n\cdot n!=(n+1)!-1.$ Здесь $k!=1\cdot 2\cdot\dots\cdot k$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)