Математикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 9 сынып

$A$ мен $B$ сандарын салыстырыңыздар: $A = \dfrac{1}{{99}}\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dots + \dfrac{1}{{99}}} \right)$ және $B = \dfrac{1}{{100}}\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dots + \dfrac{1}{{100}}} \right)$.

Комментарий/решение

Пусть $x = 1 + \cfrac{1}{2} + \ldots + \cfrac{1}{99}$, тогда $A = \cfrac{1}{99}x=\cfrac{x}{99}$, $B = \cfrac{1}{100} \left( x+\cfrac{1}{100} \right)=\cfrac{x}{100} + \cfrac{1}{10000}$

Сравним $A$ и $B$:

$\cfrac{x}{99} \lor \cfrac{x}{100} + \cfrac{1}{10000}$

$\cfrac{x}{99} - \cfrac{x}{100} \lor \cfrac{1}{10000}$

$\cfrac{x}{9900} \lor \cfrac{1}{10000}$

Так как $x>1$, то получим:

$\cfrac{x}{9900} > \cfrac{x}{10000} > \cfrac{1}{10000}$.

Значит $A>B$

$\frac{1}{99} > \frac{1}{100}-\frac{1}{100×100} \text{сондықтан } А>В$