Математикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$A$ мен

$B$ сандарын салыстырыңыздар:

$A = \dfrac{1}{{99}}\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dots + \dfrac{1}{{99}}} \right)$ және

$B = \dfrac{1}{{100}}\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dots + \dfrac{1}{{100}}} \right)$ .
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$\underbrace {999\ldots 9^3}_{100 - \text{ рет}}$ санының ондық жазылуында қанша 9 цифрасы бар?
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$ABCD$ параллелограммын қарастырайық.
а) Егер

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі

$BD$ диагоналында жатса, онда

$ABCD$ ромб болатыны шын ба?
б) Егер

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі

$BD$ диагоналында жатса, онда

$ABCD$ ромб болатыны шын ба?
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Бүтін

$x$ және

$y$ сандары үшін

$x^2+3xy+y^2$ өрнегі 25-ке бөлінсе, онда

$x$ және

$y$ сандарының әрқайсысы 5-ке бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Кеше ойын алаңындағы ұл балалардың саны кыз балалардың санына қарағанда 1,5 есе көп болды. Бүгін ұл балалардың саны қыз балалардың санының квадраты болып тұр, және кешегімен салыстырғанда, ұлдардың саны 6-ға, ал қыздардың саны 7-ге кеміген. Кеше ойын алаңында неше бала болған?
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Кез келген натурал

$n$ үшін

$1\cdot 1!+2\cdot 2!+\ldots +n\cdot n!=(n+1)!-1$ теңдігінің дұрыс екенін көрсетіңіз, бұл жерде

$k!=1\cdot 2\cdot\dots\cdot k$ .
комментарий/решение(2)