қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 9 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $A$ мен $B$ сандарын салыстырыңыздар: $A = \dfrac{1}{{99}}\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dots + \dfrac{1}{{99}}} \right)$ және $B = \dfrac{1}{{100}}\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dots + \dfrac{1}{{100}}} \right)$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $\underbrace {999\ldots 9^3}_{100 - \text{ рет}}$ санының ондық жазылуында қанша 9 цифрасы бар?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $ABCD$ параллелограммын қарастырайық.
а) Егер $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі $BD$ диагоналында жатса, онда $ABCD$ ромб болатыны шын ба?
б) Егер $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі $BD$ диагоналында жатса, онда $ABCD$ ромб болатыны шын ба?
комментарий/решение(1)
а) Егер $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі $BD$ диагоналында жатса, онда $ABCD$ ромб болатыны шын ба?
б) Егер $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі $BD$ диагоналында жатса, онда $ABCD$ ромб болатыны шын ба?
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Бүтін $x$ және $y$ сандары үшін $x^2+3xy+y^2$ өрнегі 25-ке бөлінсе, онда $x$ және $y$ сандарының әрқайсысы 5-ке бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Кеше ойын алаңындағы ұл балалардың саны кыз балалардың санына қарағанда 1,5 есе көп болды. Бүгін ұл балалардың саны қыз балалардың санының квадраты болып тұр, және кешегімен салыстырғанда, ұлдардың саны 6-ға, ал қыздардың саны 7-ге кеміген. Кеше ойын алаңында неше бала болған?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Кез келген натурал $n$ үшін $1\cdot 1!+2\cdot 2!+\ldots +n\cdot n!=(n+1)!-1$ теңдігінің дұрыс екенін көрсетіңіз, бұл жерде $k!=1\cdot 2\cdot\dots\cdot k$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)